[发明专利]一种非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法

权利要求书

1.一种非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，其特征在于：包括以下步骤：

步骤一：先在粗粒度的粒层上求解非线性对流扩散方程，得到粗粒度上的收敛解；

步骤二：再切换粒层，在细粒层上运用一阶泰勒展式将方程组线性化，进一步降低计算复杂度，再运用步骤一得到的解，通过跨粒层快速重构解来求解方程组，得到目标粒度(细粒度)的解，使得方程在保持稳定性及精确度的基础上加快求解速度，提高效率。

2.根据权利要求1所述的非线性对流扩散方程的粒计算加速求解方法，其特征在于：具体步骤如下：

1)非线性对流扩散方程：

c·ut+b·▿u-▿·(a▿u)=f(u),inΩ×(0,T],u(x,t)=0,on∂Ω×(0,T],u(·,0)=u0,onΩ×{0},---(1)]]>

上式中，扩散系数a＝(a₁，a₂)^T和流速分量b＝(b₁，b₂)^T是线性的，源项f(u)＝f(u,x,t)是非线性函数，Ω是以为边界的有界域，T＞0表示时间，u为物质浓度，ut=∂u∂t,]]>x＝(x₁，x₂)^T，▿=(∂/∂x1,∂/∂x2)T;]]>

2)W^m，p(Ω)是Ω上的sobolev空间，其范数为：

记W^m，2(Ω)＝H^m(Ω)，||v||Hm(Ω)=||v||m,||v||L2(Ω)=||v||0=||v||,]]>方程组(1)满足以下条件，其中,c_*，c^*，a_*，a^*，C₁，C₂，C₃为正常数：

a)0＜c_*≤c≤c^*＜+∞，0＜a_*≤a≤a^*＜+∞，max|a|＜max|b|＜C₁；

b)|b/c|+|▿·(b/c)|≤c2;]]>

c)|∂f(s)∂s|+|∂2f(s)∂s2|≤C3;]]>

d)u∈L^∞(0，T；H^r+1(Ω))；

e)u_t∈L²(0，T；H^r+s)，r＝1ifs＝1andr≥2ifs＝0；

f)∂2u∂t2∈L2(0,T;L2(Ω));]]>

3)用特征有限元法对方程组(1)进行离散:

令与算子相伴的特征方向τ＝τ(x，t)的方向导数为∂∂τ=c(x)ψ(x)∂∂t+b(x)ψ(x)∂∂x;]]>

方程组(1)的特征形式为：

ψ·uτ-▿·(a▿u)=f(u),inΩ×(0,T],u(x,t)=0,on∂Ω×(0,T],u(·,0)=u0,onΩ×{0},---(2)]]>

Sobolev空间V=W01,2(Ω),]]>内积(u,v)=∫Ωu(x)v(x)dx,∀u,v∈V;]]>并令运用格林公式，(2)式可改写为如下形式:

(ψ·uτ,v)+A(u,v)=(f(u),v),v∈V,A(u(0)-u0,v)=0,v∈V.---(3)]]>

对时间区间(0，T]进行划分，令tⁿ＝n·Δt，n＝1，2，...，N；

在特征修正技术中，t＝tⁿ时，特征方向导数通过式(4)离散：

(ψ·uτ)n≈ψu(x,tn)-u(x‾,tn-1)(x-x‾)2+Δt2=c(x)u(x,tn)-u(x‾,tn-1)Δt---(4)]]>

式中，代表第n时间层x处的特征线与第n-1时间层的交点；

4)在细粒层上，对区间Ω进行步长粒度为h的划分，V_h表示有限元空间，V∩W^1，∞(Ω)；方程组(1)的特征有限元解如下:

对于n＝1,2,…N,寻找使得

{(cuhn-u‾hn-1Δt,v)+A(uhn,v)=(f(uhn),v),v∈VhA(uh0-u0,v)=0,v∈Vh---(5)]]>

其中

unh=uh(tn)u‾hn-1=uh(x‾,tn-1)=uh(x-b(x)c(x)Δt,tn-1)---(6)]]>

初始条件的近似值可以通过u₀在V_h中的插值给出，方程组(5)得到唯一确定解

5)由于源项是非线性函数，方程组(5)的计算复杂度高，这里先在粗粒度H²＝h的粒层上求解非线性对流扩散方程，通过方程(7)得到收敛解

{(cuHn-u‾Hn-1Δt,v)+A(uHn,v)=(f(uHn),v),v∈VHA(uH0-u0,v)=0,v∈VH---(7);]]>

6)切换粒层，通过粒层之间的解的快速重构来求解

运用函数将方程巧妙线性化，直接由粗粒度H上的解推出细粒度h上的解