[发明专利]采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法

权利要求书

1.一种采用序列幂函数插值方法实现结构多材料拓扑优化的方法，其特征在于：包括步骤如下：

步骤一、建立连续体结构的参数化有限元模型；

步骤二、基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型；

步骤三、构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模型；

步骤四、求出目标函数、弹性模量、质量函数、费用函数和单元材料费用的灵敏度信息；

步骤五、根据Kuhn-Tucker条件导出优化准则；

其中，步骤二所述的基于有限元模型建立多材料拓扑优化数学模型是：在结构质量与材料费用的约束下，实现结构的高刚度目标，其优化数学模型如下：

该优化数学模型以结构应变能c为目标函数，而结构应变能c是评价刚度的标量，应变能越小，刚度越大；K，u和P分别是相应结构的有限元总体刚度矩阵，位移向量和节点力向量；k₀和u_e分别是不含弹性模量因子的单元刚度矩阵及位移向量；ρ_e代表第e个单元的材料密度，即拓扑优化设计变量；E_e和C_e是第e个单元的弹性模量和材料费用，由ρ_e通过相应的插值公式，即式(3)至式(8)得到；V_e是第e个单元的体积，二维问题中代表面积，M和C是当前所设计的结构的质量和费用，N为设计变量的个数，同时也是单元个数，M₀和C₀是设计域内充满材料时的质量和费用；ε_M和ε_C是给定的质量和费用系数，ρ_min是给定的最小非零密度值来避免结构刚度矩阵的奇异性；优化数学模型增加了材料的费用约束，除了考虑多种材料弹性模量对结构拓扑形状的影响之外，同时也考虑了材料费用对结构拓扑形状的影响；

步骤三所述的构造以密度为自变量的单元弹性模量和材料费用的序列幂函数插值模型是：首先将所有候选材料的密度变量归一化[0，1]区间上

ρ_i＝ρ_i^T/ρ_max(i＝1,2,…,m) (2)

其中ρ_i^T是第i种材料的实际密度，ρ_i是归一化后第i种材料的相对密度，ρ_max是可选材料中密度的最大值，m是材料种类数；已建立的优化数学模型要求结构刚度大、质量轻，因此对于弹性模量我们构造出一种下凸的幂函数

p为惩罚因子，是一个人为给定的常数；对于ρ_e∈[ρ_i,ρ_i+1]，A_E和B_E由下式给出

B_E＝E_i-A_Eρ_i^p (5)

E_i和E_i+1分别是排序后的第i和i+1种材料的弹性模量；对于临时的中间密度，如果迭代过程中密度稍微增大，弹性模量就会显著增大；如果密度减小，弹性模量不会显著减小，总体效果使得结构的刚度更大而质量更小；相应地对于材料费用我们构造出一种上凸的幂函数

C_e(ρ_e)＝A_Cρ_e^(1/p)+B_C,ρ_e∈[ρ_min,1],p＞1 (6)

其中对于ρ_e∈[ρ_i,ρ_i+1]，未知系数A_C和B_C由下式确定

B_C＝C_i-A_Cρ_i^(1/p) (8)

C_i和C_i+1分别是排序后的第i和i+1种材料的费用；对于临时的中间密度，如果迭代过程中密度稍微增大，材料费用不会显著增加；如果密度减小，材料费用会显著减小，总体效果使得结构的刚度更大而材料费用更小；这样可以将临时的中间密度惩罚掉，使材料变量趋于插值点处离散的候选材料。