[发明专利]基于系统矩阵Moore-Penrose伪逆的CT和PET迭代重建算法

说明书

1.技术领域：本发明涉及CT(PET)成像技术领域，特别是CT(PET)迭代重建技术领域，具体是指一种基于投影矩阵Moore-Penrose伪逆(广义逆)的迭代CT(PET)重建技术。

2.背景技术

X射线计算断层成像(ComputedTomography，CT)因其无损、精确、快速等优点广泛应用于医疗、科研和工业等领域，成为临床诊断、手术引导、科学研究和质量监控中不可或缺的工具。高质量和完备的投影数据是重建高质量图像的关键。随着人们对X线辐射剂量越来越多的关注，低剂量CT(或称绿色CT)成为新的、更迫切的追求目标。为将辐射剂量水平降到足够低，严格限制扫描密度。稀疏扫描成为降低辐射剂量的主要方式。有些场合受被扫描物体形状、探测器尺寸及现场扫描空间等条件的限制，如集成电路板成像，长管状物成像和乳房成像，无法获得满足要求(如平行光(parallel-beam)扫描下180°角范围的扫描)的投影数据，此时为不完全投影数据CT重建。当投影数据是不完全时，CT重建一般将成为严重的病态问题，难以精确重建断层图像。近年来，结合先验信息或正则约束(如最小化总变分，totalvariationminimization)的重建思路成为新的解决途径，其实现通常采用迭代重建技术。迭代重建技术具有抗噪性好，伪影抑制能力强，方便引入已有的先验信息等优点。众多学者进行了大量艰苦的研究工作，提出了各种改进算法。但该类算法均存在着一定的、甚至严重的缺陷，譬如巨大的计算量，重建速度慢、稳定性差等，其实际应用前景甚至理论基础仍然存在许多争论，使其远未成为CT重建的主流算法。因此，可以认为重建技术在提高不完全扫描数据重建质量的潜力还远远没有被充分发挥出来，实用性方面存在的问题还远没解决。本发明专利将以新的角度和方法解决该类算法，也为解决其它类似问题提供新的途径。

3.发明内容

3.1基本算法

X射线CT的投影过程可以用线性代数模型为：

X＝PI(1)

其中I为矢量表示的待重建图像，P为投影矩阵，X是矢量表示的投影数据。由于平行光(parallel-beam)、扇形光(fan-beam)和锥束光(cone-beam)X射线扫描的投影过程均可以由公式(1)表示。由于正电子放射断层造影术(positronemissiontomography，PET)的射线是直线传播，其射线发射投影过程也可以由公式(1)表示。

根据数学理论，重建图像为

其中P⁺表示P的Moore-Penrose伪逆(广义逆)。矩阵论中相关理论表明该重建图像是线性代数模型的最小二乘法最小范数解，是仅根据投影数据重建时，能够得到的最好图像。

实际中，由于其非常大，投影矩阵P是难以获得、存储和使用的，更不要说它的Moore-Penrose伪逆。如当图像有1024＊1024像素，扫描角度数为360，投影矩阵包括个实数。当采用双精度存储时，大约4.3TB(terabyte)，大于一般工作站存储容量。因此必须避免直接计算和使用P和P⁺。应用以下定理可以避免直接计算P⁺。

定理：设P∈R^N·M≠O，根据矩阵论有关定理，又设T₀＝P^TY₀P^T，Y₀∈R^N·M，满足

ρ(R₀)＝ρ(P_R(P)-PT₀)＜1(3)

其中ρ(R₀)是R₀的谱半径(矩阵特征值的模的最大值)，P_R(P)是P的正交投影矩阵，P^T表示P的转置矩阵，则当k→∞时，序列

T_k+1＝T_k+T₀-T₀PT_k(4)

收敛到P⁺，即残差||P_R(P)-PT_k+1||≤||P_R(P)-PT_k||||P_R(P)-PT₀||＜||P_R(P)-PT_k||，其中||·||表示任何乘性范数。