[发明专利]扩散型动态数据重构的奇异边界法

说明书

技术领域

本发明属于扩散型动态数据重构领域，具体涉及一种基于无网格奇异边界法的扩散型动态数据重构方法。

背景技术

扩散问题，在石油开采、环境污染、疾病流行、化学反应、新闻传播、煤矿瓦斯爆炸、农田墒情、水利工程、生态问题、房屋基建、神经传导、药物在人体内分布以及超导、液晶、燃烧等诸多自然科学与工程技术领域普遍地存在。因此，发展高精度、耗时少、计算简便的数值方法去处理扩散型动态数据具有非常重要的实际工程和应用价值。

纵观国内外重构扩散型动态数据的方法有有限元法、边界元法、及其一些无网格方法。有限元法需要对整个区域进行网格划分，对于瞬态问题来说这项工作相当费时费力。边界元法无需划分网格，只需对边界进行剖分，但涉及奇异积分和拟奇异积分的处理，相当麻烦，特别是对于这类瞬态问题来说涉及区域积分的计算。更重要的是上述两种方法需要采用Laplace变换或者有限差分法去处理时间项。基本解法作为一种无网格方法可有效进行扩散数据的处理，但是采用这个方法的弊端体现在：涉及虚拟边界的选取，虚拟边界的位置会严重影响解的精度；计算中需要求解两个方程组，这非常耗时且方程的求解会对结果带来一定误差(见：文献1D.Young,C.Tsai,K.Murugesan,C.Fan,C.Chen,Time-dependentfundamentalsolutionsforhomogeneousdiffusionproblems(J).EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2004,28(12):1463-1473)。

另外，目前应用较为广泛的扩散数据的重构方法都是基于有限元和差分法，如专利CN104166792A“一种预应力混凝土连续钢结构桥温度作用有限元分析方法”，通过基于有限元和结构力学的计算分析，从而达到扩散数据的重构；专利CN101615219A“一种模拟输移扩散问题的高精度差分方法”，提出一种非均匀网格下的高精度差分方法行扩散数据的重构；上述方法需要对整个区域划分网格，工作量非常巨大，重构时间相当长，不利于实际工程应用。

因此，找到一种无需划分网格、计算简单、高效精确的数值方法去模拟扩散型数据具有积极的工程实践意义。

发明内容

发明目的：针对现有扩散数据重构技术过程复杂、耗时耗力的缺陷，本发明旨在提供一种简单、高效的无网格方法去重构扩散型动态数据，从而达到节约重构时间，提高重构效率的目的。

技术方案：为解决上述技术问题，本发明基于无网格奇异边界法去重构扩散型动态数据，该方法直接利用时间依赖基本解作为插值基函数，且无网格、无数值积分、无插值方程求解。方法采用如下技术方案：

扩散型动态数据重构的奇异边界法，包括如下步骤：

(1)在所考察物质的内部和边界配置若干测试点，获得这些测试点的扩散数据；

(2)根据奇异边界法的基本思想，直接采用扩散问题的时间依赖基本解作为插值基函数，建立扩散问题相应的奇异边界法方程组；

(3)利用经验公式计算奇异边界法的源点强度因子；

(4)将源点强度因子代入奇异边界法公式，计算奇异边界法公式的组合系数；

(5)根据奇异边界法公式，计算任意时刻任意内点的扩散数据值。

进一步地，步骤(1)中具体包括：

初始时刻应在所考察物质的内部配置N₁个测试点，获得初始时刻这些测试点的扩散数据值u_i,i＝1,...,N₁；

在所考察物质的表面配置N₂个测试点，随着扩散的进行，获得不同时刻这些点的扩散数据值u_i,i＝N₁+1,...,N₁+N₂。

在一种具体的实施方案中，步骤(2)中采用的扩散问题控制方程为：

其中，Ω表示所考察物质的区域，x为空间坐标，t为x所对应的时刻，k是扩散系数；

初始条件和边界条件分别为：

其中，Γ表示所考察物质的边界，t₀是初始时刻，表示初始时刻所测扩散数据，表示t时刻所测边界扩散数据；

扩散问题所对应的时间依赖性基本解为：

其中，n为空间维数，x和ξ分别表示场点和源点的坐标，t和τ分别表示场点和源点所对应的时刻，H(t)为Heaviside函数。