[发明专利]一种端点数据的一阶导数估计方法

说明书

技术领域

本发明属于应用数学领域，涉及离散测量数据端点的一阶导数解算。

背景技术

离散数据一阶导数的解算在工程实践中有着广泛的应用，比如，气象、化学、地质学、航空航天、机械制造等众多领域都经常涉及，其基本解算步骤通常是：用近似函数对离散数据进行拟合，然后进行微分，必要时通过一定的算法对微分结果进行优化，最终获得一阶导数。由于测量数据变化规律的复杂性、拟合模型的近似性以及算法的局限性等原因，要获得准确的计算结果具有相当的难度，尤其是端点处的数据，在某些领域一直是工程计算中的难点。由于端点处的数据处于截断状态，因此，对于数据拟合来说，只有一半的信息可以利用，使得计算出较为准确的结果更加困难。在工程实践中，当测量数据的连续变化较为剧烈时，有很多算法对于端点以及端点附近数据的一阶导数解算结果都无法采用。

发明内容

本发明的目的是：提供一种离散数据的一阶导数解算方法，使得测量数据在等间隔采样条件下，其左端点能够获得较好的一阶右导数解算结果，测量数据的右端点能够获得较好的一阶左导数解算结果。

本发明的技术方案是：首先选取包含待解算一阶导数的端点的拟合区间，使该区间的点数≥5，再对该区间进行最小二乘三次多项式拟合，获得其三次项系数，然后调整该多项式的一次项系数和二次项系数，使调整系数后的多项式所确定的曲线在直角坐标系中纵向平移一段距离后能够在端点、端点的内邻点和该内邻点另一侧的邻点处与测量数据重合，最后将调整系数后的多项式在端点处的一阶导数作为测量数据的一阶导数。

该方案解算测量数据左端点的右导数的一种具体方法是：设测量数据的真值函数为f(t)，点是测量数据的左端点，测量点是拟合区间内的一点，并且是点的邻点，测量点也是拟合区间内的一点，并且是点的右邻点，则测量数据的左端点的一阶导数估计值为式中，A₃为对包含点点点的拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数，且该拟合区间的总点数必须大于或等于5，是与t_i-1对应的测量值，是与t_i对应的测量值，是与t_i+1对应的测量值，下标i为整数。

该方案解算测量数据右端点的左导数的一种具体方法是：设测量数据的真值函数为f(t)，点是测量数据的右端点，测量点是拟合区间内的一点，并且是点的邻点，测量点也是拟合区间内的一点，并且是点的左邻点，则测量数据的右端点的一阶导数估计值为式中，A₃为对包含点点点的拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数，且该拟合区间的总点数必须大于或等于5，是与t_i-1对应的测量值，是与t_i对应的测量值，是与t_i+1对应的测量值，下标i为整数。

本发明的效果和益处是：①能够显著改善端点数据的一阶导数解算精度差的状况；②既能够对等间隔采样数据进行一阶导数解算，也能够对不等间隔采样数据进行解算；③解算过程不需知道测量数据的精确拟合模型。

本发明的发明要点是：把a₁+2a₂t_e+3A₃t_e²的值作为端点的一阶单侧导数估计值，其中，A₃为对包含点点点的拟合区间采用最小二乘三次多项式拟合后所得的三次项系数，且该拟合区间的总点数大于等于5，t_e＝t_i-1或t_e＝t_i+1。

附图说明

图1是测量数据左端点附近情况说明图；

图2是测量数据右端点附近情况说明图；

图3是端点的一阶导数解算流程。

具体实施方式

下面以函数为例，取采样间隔为1，构造一组仿真数据，如表1所示，采用本发明计算其2个端点的单侧导数，对其解算步骤做详细说明。

表1仿真数据及其拟合结果(采样间隔为1)

(1)计算左端点(30.000000，100047.401086)的右导数，步骤为：