[发明专利]一种基于指数信号的范德蒙分解的数据补全方法

说明书

技术领域

本发明涉及指数信号的预测与补全，尤其是涉及一种基于指数信号的范德蒙分解的数据补全方法。

背景技术

在许多实际应用中，如核磁共振波谱和雷达目标定位，我们感兴趣的目标信号可以建模成在频域(相对时域)上若干谱峰的线性叠加，而采集的数据是时域(相对频域)信号，并且符合指数信号。而在实际采样中，通常由于受到硬件、物理条件的限制，实际采样得到的数据并不完整或达不到预期的分辨率，甚至只能得到极少部分的数据。需要补全采集到数据中的丢失部分。或者由于数据量较大，为了加速采样而采用非均匀采样方式，并且需要对采集信号进行数据补全。

比如核磁共振波谱，它在化学分子结构分析领域有着重要的应用，其时域信号符合指数函数。核磁共振实验时间较长，从分钟到几十天不等，这不但使得实验必须耗费大量的谱仪机时，而且加大了实验难度，从而限制了核磁共振技术的应用。为了缩短核磁共振实验时间，一个常见的做法是采用非均匀采样的方式来减少时间域的采样点数(Xiaobo Qu,Xue Cao,Di Guo,Zhong Chen,"Compressed sensing for sparse magnetic resonance spectroscopy,"International Society for Magnetic Resonance in Medicine 18th Scientific Meeting.Stockholm,Sweden,pp.3371,2010.)(Xiaobo Qu,Di Guo,Xue Cao,Shuhui Cai,Zhong Chen,"Reconstruction of self-sparse 2D NMR spectra from undersampled data in indirect dimension,"Sensors,vol.11,no.9,pp.8888-8909,2011.)(Xiaobo Qu,Maxim Mayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,Vladislav Orekhov,"Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction,"Angewandte Chemie International Edition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.)，但这样做造成信号的丢失，需要使用信号处理的方法对信号进行补全。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于指数信号的范德蒙分解的数据补全方法。

本发明包括以下步骤：

1)利用范德蒙分解对指数信号的汉克尔矩阵建模；

2)建立一种基于范德蒙分解的指数信号恢复模型；

3)提出基于范德蒙分解的指数信号恢复模型的求解算法；

4)数据后处理：对求解获得的指数信号进行傅立叶变换可得到频谱。

在步骤1)中，所述利用范德蒙分解对指数信号的汉克尔矩阵建模的具体方法可为：一个指数信号x表示为多个指数函数线性叠加的形式：

其中x_j表示指数信号x中的一点，c_r表示指数函数的幅度，R表示指数函数的个数；假设该指数信号x的长度为2N-1，其汉克尔矩阵可以根据范德蒙分解表示成以下形式：

其中矩阵和均为范德蒙矩阵，矩阵表示一个对角矩阵。

在步骤2)中，所述建立一种基于范德蒙分解的指数信号恢复模型测量得到信号y，基于范德蒙分解的指数信号恢复模型为：

其中||·||_*表示求矩阵的核范数，即对矩阵的奇异值求和；||·||₂表示求向量的2范数；表示提取出矩阵第r列，算子和分别表示将向量排列成汉克尔矩阵，并且其汉克尔矩阵分别有m和n行，是非均匀采样算子；y表示测量信号；λ为正则化参数，用于权衡和两项的重要性；是预设的汉克尔矩阵的秩；符号“H”表示矩阵的共轭转置。

在步骤3)中，所述提出基于范德蒙分解的指数信号恢复模型的求解算法的具体方法可为：

为了解决式(13)中的问题，提出松弛模型如下：

其中||·||_F表示对矩阵求弗罗贝尼乌斯范数；β表示正则化参数，与参数λ共同权衡和三项的重要性。