[发明专利]一种阶梯梁弯曲振动一阶固有圆频率的计算方法

说明书

技术领域

本发明涉及一种机械振动的计算方法，特别是一种阶梯梁弯曲振动一阶固有圆频率的计算方法。

背景技术

阶梯形构件在工程中很常见，如动力机械中支承回转零件和传递运动和动力的阶梯轴、石油钻井工程中的阶梯形钻柱、超声加工中的阶梯形变幅杆、抽油系统中的阶梯形抽油杆以及发动机内的阶梯形活塞杆、处于车削加工过程中的工件等。以弯曲为主要变形的阶梯形杆件可称之为阶梯梁，阶梯梁的振动问题是机械振动的一个基础课题，而且在工程中一般特别关注一阶频率。阶梯梁的固有频率受截面形状、约束条件、材料及分段杆长的影响。现有的文献只给出了几种常见边界条件(或约束)下的等截面直杆(简称等直杆)固有圆频率的计算公式，而给定边界条件的阶梯梁弯曲振动固有圆频率的推导，由于公式较为复杂，计算工作量大，目前在现有的文献中没有系统给出阶梯梁弯曲振动固有圆频率方程的推导过程及计算方法，也没有查到直观的可以套用的、给定边界条件下的阶梯梁弯曲一阶固有频率计算公式。

发明内容

本发明的目的是要提供一种阶梯梁弯曲振动一阶固有圆频率的计算方法，解决目前没有系统给出阶梯梁弯曲振动固有圆频率方程的推导方法，对给定一端固定、一端自由边界条件下的不同长度、尺寸及材料的阶梯梁也没有可以套用的一阶固有频率计算公式的问题。

本发明的目的是这样实现的：本发明的方法步骤如下：

(1)基于等直杆的弯曲自由振动方程，列出阶梯梁各段的弯曲自由振动方程；

(2)基于分离变量法假设阶梯梁各段的模态解；

(3)列出整梁两端的边界条件及分段截面处的连续性条件；

(4)由假设的模态解代入阶梯梁各分段的弯曲自由振动方程，，求出各分段的振型函数Y_i(x)形式，其中振型函数含有未知的待定系数及梁的圆频率，需由边界条件确定这些系数；

(5)将含有待定系数及固有圆频率的模态解带入边界条件及分段截面处的连续性条件，得到相应的边界条件方程及连续性方程；

(6)求解边界条件方程及连续性方程，联立求解方程组，利用消元法得到只含两个待定系数及固有圆频率的方程组；

(7)根据方程组有非零解的条件求出频率方程；

(8)再利用Matcad软件求解频率方程得到一阶固有圆频率值。

所述的等直杆的弯曲自由振动方程：

其中，EI为梁的抗弯刚度，ρ为梁单位体积的质量，A为梁的横截面面积，y(x,t)为梁的x处截面在时刻t的振动位移。

所述的阶梯梁各分段的弯曲自由振动方程的形式为：

其中，

所述的基于分离变量法假设阶梯梁各段的模态解的形式为：

y₁(x,t)＝Y₁(x)e^iωt，y₂(x,t)＝Y₂(x)e^iωt，…,y_n(x,t)＝Y_n(x)e^iωt，

其中i为虚数单位，Y_i(x)为各分段的振型函数，ω为阶梯梁的固有圆频率。

所述的各分段的振型函数Y_i(x)形式为：

Y₁(x)＝(C₁cosβ₁x+C₂sinβ₁x+C₃chβ₁x+C₄shβ₁x)

Y₂(x)＝(D₁cosβ₂x+D₂sinβ₂x+D₃chβ₂x+D₄shβ₂x)

其中

所述的整梁两端的边界条件包括：位移边界条件及力边界条件；当已知边界位移时，列出位移边界条件，有边界弯曲挠度、转角条件；当已知边界力时，列出力的边界条件，包括边界剪力或弯矩条件；每一个边界列出两个方程：

当已知边界挠度时，有边界挠度方程y(x,t)|_Γ＝f₁(t)，f₁(t)为已知的边界挠度函数；特殊地，对于固定端约束的边界，有y(x,t)|_Γ＝0；