[发明专利]一种基于微分求积法的时变状态方程解法

说明书

技术领域

本发明属于时间域控制系统数值计算领域，特别涉及一种基于微分求积法的时变状态方程解法。

背景技术

状态向量所满足的向量常微分方程称为控制系统的状态方程，状态方程是控制系统数学模型的重要组成部分，状态方程常常被用来研究复杂的控制系统的动态特性。

实际复杂的控制系统大多都是时间域上的控制系统，所建立状态方程的系统矩阵和输入矩阵的元素都是时间的函数，难以求解状态方程的解析解，因此亟需提出一种能够求解复杂时间域控制系统所建立的时变状态方程的求。

发明内容

本发明为了克服上述现有技术的不足，提供了一种基于微分求积法的时变状态方程解法，本求解方法具备求解精度高、不受时变状态方程矩阵对于时间变量复杂度的限制、易于编程的特点。

为实现上述目的，本发明采用了以下技术措施：

一种基于微分求积法的时变状态方程解法包括以下步骤：

S1、建立待求解电路系统的时变状态方程；

其中，fi(i＝1,2,…k)为第i个电路系统的时变状态变量，且fi＝fi(t)，fi′(i＝1,2,…k)为第i个电路系统时变状态变量关于时间t的一阶导函数，系统矩阵和输入矩阵均为关于时间t的函数矩阵，其中，a_ij(i＝1,2,…,k；j＝1,2,…k)为fi′和fj之间的相关系数，mi(i＝1,2,…,k)为第i个输入参数，us(t)为关于时间t的激励函数；

S2、在时间域[a,b]上取N个非均匀节点，通过取点公式确定非均匀节点，得到时间域上N个非均匀节点，即a＝t₁＜t₂＜…＜t_N＝b，其中，t_i为所取的第i个节点；

S3、将待求解的时变状态方程用微分求积的形式代替，即为将时变状态方程中的函数及函数导数用全域上的全部非均匀节点的函数值进行加权求和来表示；

S4、将微分求积形式代替后的线性方程组进行移项整理，提取方程组的系数矩阵TEM和BEM；

S5、确定初值条件，即待求解电路系统中时变状态变量的初值向量[f1(1) f2(1) … fk(1)]，其中，fi(1)＝fi(t₁),(i＝1,2,…,k)，对线性方程组的系数矩阵进行修正，去掉由每一个初始微分方程形成线性方程组的第一个方程，将与初值有关的项移到等式的右端，得到修正后线性方程组求解的系数矩阵TEM和BEM；

S7、对修正后线性方程组进行求解，得到各个时变状态变量在节点处的值，即为f1(1),f1(2),…,f1(N)；f2(1),f2(2),…,f2(N)；………；fk(1),fk(2)，…fk(N)，其中，fi(j)＝fi(t_j),(i＝1,2,…,k；j＝1,2,…,N)，n为状态变量的个数，N为节点的个数。

本发明还可以通过以下技术措施进一步实现。

优选的，步骤S3的具体操作步骤包括：

S31、一维函数f(t)为时变状态变量fi(i＝1,2,…,k)中的任意一个，它在时间域[a,b]上连续可微，则其中，L为线性微分算子，W_j(t)为插值基函数，t_j为N个互异节点a＝t₁＜t₂＜…＜t_N＝b中第j个节点的坐标值，

令A_ij＝W_j(t_i)、f_j＝f(t_j)，则

其中，A_ij为函数f(t)一阶导数的加权系数，则[A_ij]为一阶导数的加权系数矩阵；

S32、通过拉格朗日插值方法得到微分求积法加权系数的显式表达式即为A_ij，A_ij由下式计算得到：

S33、将步骤S1中的待求解电路系统的时变状态方程中的微分项用微分求积的形式代替，即fi_j＝fi(t_j)(i＝1,2,…,k；j＝1,2,…,N)，得到如下的方程组：

优选的，步骤S4的具体操作步骤包括：

S41、将微分求积形式代替后的线性方程组进行移项整理，可得如下标准形式的方程组：