[发明专利]一种含柱状缺陷的涡流无损检测磁场的半解析计算方法

权利要求书

1.一种含柱状缺陷的涡流无损检测磁场的半解析计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、按照材料以及缺陷的分布，对缺陷检测模型划分求解区域；

S2、根据电磁学原理对求解区域建立偏微分方程，并运用数学物理方法求解拉氏域偏微分方程通解的形式；所述步骤S2具体为：

根据电磁场理论和麦克斯韦方程组，各求解区域的磁矢量势A满足式(1)所示的偏微分方程：

式中ρ表示径向坐标，z表示轴向坐标，p表示一个参数变量，对于空气域，p²＝0；对于导体域，p²＝-jωμ₀μ_rσ；为求解方便将式(1)转为拉氏域下，此时导体域中p²＝-sμ₀μ_rσ；其中j为复数标记，ω表示角频率，μ₀表示真空磁导率，μ_r表示导体相对磁导率，σ表示导体电导率，s表示拉氏域下表达式的频率参数；

对无缺陷区域的磁矢量势进行有限汉克尔变换得到：

式中表示经过有限汉克尔变换后的磁矢量势表达式，表示频域下的磁矢量势表达式，J₁表示第一类一阶贝塞尔函数，λ_i表示满足边界条件的正常数，b表示求解区半径；

将式(2)代入式(1)后，将偏微分方程转化为常微分方程求解问题，即求解式(3)所示的常微分方程：

令缺陷检测模型上无穷远和下无穷远处的边界函数值为0，即当z＝+∞和z＝-∞时磁矢势为0，可得式(4)-(7)：

式(4)-(7)中表示第i区经过有限汉克尔变换后的磁矢量势表达式，i＝1,2,4,5；e表示自然常数，γ_i满足等式γ_i²＝λ_i²+μ₀μ_rσs，C₁₁、C₂₁、C₂₂、C₄₁、C₄₂、C₅₁均为待定系数；

对于含缺陷的3区，采用分离变量法求解偏微分方程，得出：

式中表示第3区频域下的磁矢量势表达式；q_i表示满足边界条件的正常数；p_i满足等式p_i²＝q_i²+μσs，B₃、C₃、E、F为待定系数，J₁(q_iρ)表示第一类一阶贝塞尔函数，Y₁(q_iρ)表示第二类一阶贝塞尔函数，b表示求解区半径，c表示缺陷半径；

S3、对模型求解区域添加内边界条件和外边界条件，利用贝塞尔函数正交性建立线性方程组，从而求出偏微分方程通解的系数，得出拉氏域模型磁矢量势级数形式的解析解；

S4、编写拉普拉斯逆变换的运算程序，并将拉氏域模型磁矢量势的解析解录入运算程序，封装为MATLAB的m文件；所述步骤S3具体包括以下分步骤：

S31、对3区中导体域与空气域交界处添加内边界条件：

3区中导体域与空气域交界处几何形状为一个圆柱的侧面，首先设置磁感应强度ρ分量B_ρ在该处连续，即满足：

EJ₁(q_iρ)|_ρ＝c＝J₁(q_iρ)+FY₁(q_iρ)|_ρ＝c (9)

其次令磁场强度z分量H_z在该处连续，即满足：

通过式(9)可以将式(8)变换形式为：

将式(11)带入式(10)，可解得式(11)中：

式中J₀表示第一类零阶贝塞尔函数，Y₀表示第二类零阶贝塞尔函数；

S32、对1区和2区的交界处以及4区和5区的交界处添加内边界条件：

1区和2区的交界处以及4区和5区的交界处几何形状为水平平面，其内边界条件表示为如式(12)-(13)的形式：

式(12)-(13)中下标i和j代表不同求解区域，和可写为分别代表1、2、4、5区频域下经过有限汉克尔变换后的磁矢量势表达式；μ_i和μ_j可写为μ₁、μ₂、μ₄、μ₅，分别代表1、2、4、5区的磁导率；可写为对于1区和2区的交界处有表示频域下的激励电流表达式，r表示激励线圈半径；对于4区和5区的交界处有

S33、对2区和3区的交界处以及3区和4区的交界处添加内边界条件：

2区和3区的交界处以及3区和4区的交界处的内边界需满足磁矢势的连续和磁感应强度ρ分量连续，即：

式(14)-(15)中下标i和j代表不同求解区域，和可写为分别代表第2、3、4区频域下的磁矢量势表达式；

对于2区和4区，带入式(14)和式(15)之前需要进行汉克尔逆变换：

S34、添加模型求解区域的外边界条件：

外边界条件要求模型求解区域外部边界磁矢量势为0，模型上无穷远处和下无穷远处在求解偏微分方程时已满足该外边界条件；

为了获取级数形式的解，将模型侧面外边界处的磁矢量势设置为0，即：

带入各求解区域，即满足式(18)-式(19)的所有正根：

J₁(bλ_i)＝0 (18)

J₁(bq_i)[J₁(q_ic)Y₀(q_ic)-μ_rY₁(q_ic)J₀(q_ic)]+(μ_r-1)J₁(q_ic)J₀(q_ic)Y₁(bq_i)＝0 (19)

S35、求解待定系数：

将式(4)-(7)及式(11)带入式(12)-(16)的内边界条件，利用贝塞尔函数的正交性和贝塞尔-傅里叶变换，消去含ρ变量，可得一个含有8个方程的线性方程组，将其整理为矩阵形式，可得：

Kx＝w (20)

式中K为一个已知矩阵，x为待定系数组成的未知列向量，w为已知列向量；

由矩阵的形式可以得出，矩阵为一个满秩矩阵，因此式(20)有且仅有一组解，式(20)中：

x＝[C₁₁ C₂₁ C₂₂ B₃ C₃ C₄₁ C₄₂ C₅₁]^T

其中d、l、h表示求解分区的轴向边界坐标；

求解式(20)的线性方程组后，得出各求解域拉氏域的磁矢量势级数形式的解析表达式，然后进行式(21)的积分运算：

式中表示圆柱形激励线圈激励下的磁矢量势频域表达式，s表示圆柱形激励线圈的横截面，N_d表示线圈绕线密度；

S5、给出m文件的输入值，并在MATLAB中运行运算主函数，得出给定输入值对应的输出结果。