[发明专利]基于低秩矩阵重建和稀疏表示的行列缺失图像填充方法

权利要求书

1.一种基于低秩矩阵重建和稀疏表示的行列缺失图像填充方法，其特征是，步骤是，基于低秩矩阵重建理论引入低秩先验对潜在图像进行约束；同时，考虑到行缺失图像的每一列可以由列字典稀疏表示，而列缺失图像的每一行可以由行字典稀疏表示，故基于稀疏表示理论引入可分离的二维稀疏先验；从而基于上述联合低秩与可分离的二维稀疏先验，将带有行列缺失的图像填充问题具体地表述为求解约束优化方程，从而实现行列缺失图像填充。

2.如权利要求1所述的基于低秩矩阵重建和稀疏表示的行列缺失图像填充方法，其特征是，将带有行列缺失的图像填充问题具体地表述为求解约束优化方程具体步骤细化为：

1)将带有行列缺失的图像填充问题具体地表述为求解如下约束优化方程：

其中tr(·)是矩阵的迹，表示低秩先验项；表示两个矩阵的点乘运算，||·||₁表示矩阵的一范数，两个一范数项分别代表可分离的二维稀疏先验项；Ω是观测空间，表示有行列缺失的观测矩阵D内的已知像素，P_Ω(·)是投影算子，表示变量投影到空间域Ω内的值，A为填充好的矩阵，Σ＝diag([σ₁,σ₂,...,σ_n])表示由A的奇异值以非递增的顺序组成的对角矩阵，W_a、W_b和W_c分别表示加权低秩项和可分离二维稀疏项的权重矩阵，γ_B，γ_C分别表示可分离二维稀疏项的正则化系数，Φ_c和Φ_r分别表示训练好的列字典和行字典，对应的系数矩阵分别由B和C表示，E代表观测矩阵D中缺失的像素；

采用增广拉格朗日乘子法(ALM)将约束优化问题(1)转化为无约束优化问题来求解，增广拉格朗日方程如下：

其中Y₁、Y₂和Y₃表示拉格朗日乘子矩阵，μ₁、μ₂和μ₃是惩罚因子，<·,·>表示两个矩阵的内积，||·||_F表示矩阵的弗罗贝尼乌斯(Frobenius)范数；

求解过程为，训练列字典和行字典Φ_c和Φ_r，初始化权重矩阵W_a、W_b和W_c，交替地更新系数矩阵B和C，恢复矩阵A，缺失像素矩阵E，拉格朗日乘子矩阵Y₁、Y₂和Y₃，惩罚因子μ₁、μ₂和μ₃以及权重矩阵W_a、W_b和W_c，直到算法收敛，这时迭代的结果A^(l)就是原问题的最终解A。

3.如权利要求2所述的基于低秩矩阵重建和稀疏表示的行列缺失图像填充方法，其特征是，具体地，训练字典Φ_c和Φ_r：在高质量的图像数据集上使用在线学习算法训练出列字典和行字典Φ_c和Φ_r。

4.如权利要求2所述的基于低秩矩阵重建和稀疏表示的行列缺失图像填充方法，其特征是，具体地，初始化权重矩阵W_a、W_b和W_c：设重加权次数为l，l＝0时，将权重矩阵、和初始值全部赋值为1，表示第一次迭代没有重加权。

5.如权利要求2所述的基于低秩矩阵重建和稀疏表示的行列缺失图像填充方法，其特征是，具体地，采用交替方向法ADM将方程(2)转换成如下序列进行迭代求解：

Bk+1=argminB{Lμ1k,μ2k,μ3k(Ak,B,Ck,Ek,Y1k,Y2k,Y3k)}Ck+1=argminC{Lμ1k,μ2k,μ3k(Ak,Bk+1,C,Ek,Y1k,Y2k,Y3k)}Ak+1=argminA{Lμ1k,μ2k,μ3k(A,Bk+1,Ck+1,Ek,Y1k,Y2k,Y3k)}Ek+1=argminPΩ(E)=0{Lμ1k,μ2k,μ3k(Ak+1,Bk+1,Ck+1,E,Y1k,Y2k,Y3k)}Y1k+1=Y1k+μ1k(Ak+1-ΦrBk+1)Y2k+1=Y2k+μ2k(Ak+1T-ΦrCk+1)Y3k+1=Y3k+μ3k(D-Ak+1-Ek+1)μ1k+1=ρ1μ1k,μ2k+1=ρ2μ2k,μ2k+1=ρ3μ3k---(3)]]>

上式中的和分别表示使目标函数取最小值时的变量B、C、A和E的值，ρ₁、ρ₂和ρ₃为倍数因子，k是迭代次数；然后按照如下步骤进行迭代求解：

1)求解B^k+1：使用加速近邻梯度算法求得B^k+1；

去掉式子(3)中求解B的目标函数里与B无关的项，得到如下方程：

使用泰勒展开的方法，构造出一个二阶函数来逼近上式，然后针对这个二阶的函数来求解原方程，令再引入变量Z，最终可以解得：

Bk+1=Bj+1k=soft(Uj+1,γBLfWb)---(5)]]>

其中，soft(·,·)为收缩算子，为f(Z)的梯度，L_f是一个常数，值为变量Z_j的更新规则如下：

tj+1=(1+4tj2+1)/2Zj+1=Bj+1k+tj-1tj+1(Bj+1k-Bjk)---(6)]]>

其中，t_j是一组常数序列，j是变量迭代次数；

2)求解C^k+1：使用加速近邻梯度算法求得C^k+1；

去掉式子(3)中求解C的目标函数里与C无关的项，得到如下方程：

使用泰勒展开的方法，构造出一个二阶函数来逼近上式，然后针对这个二阶的函数来求解原方程，令再引入变量最终可以解得：

Ck+1=Cj+1k=soft(U~j+1,γCLfWc)---(8)]]>

其中，soft(·,·)为收缩算子，为的梯度，L_f是一个常数，值为变量的更新规则如下：

tj+1=(1+4tj2+1)/2Z~j+1=Cj+1k+tj-1tj+1(Cj+1k-Cjk)---(9)]]>

其中，t_j是一组常数序列，j是变量迭代次数；

3)求解A^k+1：使用奇异值阈值法(Singular Value Thresholding)SVT求解A^k+1；

去掉式子(3)中求解A的目标函数里与A无关的项，并且通过配方得到：

其中，对Q^k+1使用奇异值阈值法解得：

Ak+1=Hk+1soft(Σk+1,1μ1k+μ2k+μ3kWa)Vk+1T---(11)]]>

其中H^k+1，V^k+1分别是Q^k+1的左奇异矩阵和右奇异矩阵；

4)求解E^k+1：E^k+1的解由两部分组成；

在观测空间Ω内，E的值为0；在观测空间Ω以外，即互补空间内，使用一阶求导来求解，将两部分合起来即为E的最终解：

Ek+1=PΩ(0)+PΩ‾(D-Ak+1+Y3kμ3k)---(12)]]>

5)重复上述步骤1)、2)、3)、4)直到算法收敛，这时迭代的结果A^k+1、Σ^k+1、B^k+1、C^k+1和E^k+1就是原问题没有重加权的结果A^(l)、Σ^(l)、B^(l)、C^(l)和E^(l)，这里，l是重加权次数；

6)更新权重矩阵W_a、W_b和W_c；

为抵消信号幅值在核范数项和一范数项上的影响，引入重加权方案，根据当前估计的奇异值矩阵Σ^(l)、系数矩阵B^l和C^l的幅值，采用反比例原则迭代地更新权重矩阵W_a、W_b和W_c：

Wa(l+1)(i^,i^)=1σi(l)+ϵWb(l+1)(i^,j^)=1|B(l)(i^,j^)|+ϵWc(l+1)(i^,j^)=1|C(l)(i^,j^)|+ϵ---(13)]]>

其中是图像中像素的位置坐标，ε是任意小的正数。

7)重复上述步骤1)-7)直到算法收敛，这时迭代的结果A^(l)就是原问题的最终解A。