[发明专利]一种基于函数展开的核自适应滤波器算法

说明书

技术领域

本发明属于信号处理领域中的方法研究，涉及一种函数展开的核自适应滤波器算法。

背景技术

目前，在线学习在众多领域都扮演重要角色，其中包括控制领域中的跟踪、滤波、系统辨识，在计算机视觉中的滤波、视觉跟踪，在信号处理领域中的去噪、预测等等。

而近年来关于在线核方法的研究也屡见不鲜，核方法依靠其强大的非线性能力和相关数学理论支撑逐渐被应用在很多实际工程问题当中。Mercel核可以将非线性数据通过核函数映射到超高维空间甚至无穷维空间当中，然后在高维空间中运用线性方法处理数据。支持向量机、核自适应滤波都是工程实际中广泛运用的方法。

自适应滤波是在维纳滤波，卡尔曼滤波等线性滤波基础上发展起来的一种最佳的滤波方法。在很多现实问题中，系统处理信息的过程和其数学模型通常是不确定的，包含很多未知因素和随机因素，这些不确定性有时表现在过程内部，有时表现在过程外部。从过程内部来讲，系统设计者事先不一定能确定系统的数学模型的结构和参数。同时外部环境也会对系统处理信息的过程产生影响，通常在工程上可以等效为扰动。这些扰动通常是不可测的，它们可能是确定性的，也可能是随机的。同时，系统噪声和量测噪声也是客观存在的不确定因素。如何综合的处理这个信息过程，并且在某一种准则下获得最优或者近似最优的解，就是自适应滤波所解决的问题。核自适应滤波用于再生核希尔伯特空间，是一种非线性滤波器。在众多核自适应滤波算法当中，核最小均方误差算法是最简单也最容易理解的算法。在这基础之上，学者们针对如何提高算法性能做了大量研究。其中，包括核放射投影算法，该算法提供了一种灵活的非线性在线滤波方法，并且可以在计算复杂度与性能之间选择合适的平衡点，同时核仿射投影算法在性能方面好于核最小均方误差算法，通过对窗长度K的选择也可以控制计算复杂度。核最小二乘算法是另一种提高性能的核方法，其收敛速度通常比核最小均方误差快一个量级。然而，这些方法都是通过增加计算量来获取更好的性能。

发明内容

本发明的目的在于提供一种函数展开的核自适应滤波器算法。

为达到上述目的，本发明采用了以下技术方案。

一种基于函数展开的核自适应滤波器算法，通过正交基函数展开模型将原始输入数据进行扩维，然后利用核最小均方误差算法进行滤波，得到滤波器的输出；其中，正交基函数展开模型由切比雪夫正交多项式或者勒让德正交多项式组成。

本发明进一步的改进在于，勒让德正交多项式记为P_n(·)，它是一组定义在(0,1)之间的正交多项式，其表达式为：

其中，n为阶数，x为正交基函数的输入；

勒让德正交多项式的前4项为

P₀(x)＝1

P₁(x)＝x

更高阶的展开项由其递推关系获得。

本发明进一步的改进在于，切比雪夫正交多项式记为T_n(x)，切比雪夫多项式展开模型由以下递推关系得到：

T_n+1(x)＝2xT_n(x)-T_n-1(x)(2)

其中，n为阶数，x为正交基函数的输入；

切比雪夫多项式的前两项为T₀(x)＝1和T₁(x)＝x，更高阶的展开项由公式(2)获得。

本发明进一步的改进在于，若原始输入数据为二维向量形式u＝[x₁,x₂]，其中，x₁、x₂分别为正交基函数的输入数据的两个元素；

利用阶数为n的切比雪夫多项式，得到扩维后的输入为：

u′＝[1,T₁(x₁),T₁(x₂),T₂(x₁),T₂(x₂),...,T_n(x₁),T_n(x₂),x₁x₂](3)

u′表示扩维后的数据。

本发明进一步的改进在于，其特征在于，阶数n为3或4。