[发明专利]基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法

说明书

技术领域

本发明涉及弹性动力学的计算方法，尤其涉及一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法。

背景技术

在现有技术中，通常会采用时域边界元处理弹性动力学问题，从时域边界元法的研究历史中可知，奇异性的处理一直是阻碍时域边界元法发展的一个重要因素，从已有的处理手段来看，传在处理奇异性上，传统方法对积分域的积分顺序都是采用先时间后空间的积分顺序。由于采用先时间后空间的积分顺序，导致处理奇异积分时非常冗杂繁琐，影响弹性动力学的计算精度和效率。

发明内容

为了解决现有技术中的问题，本发明提供了一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，可提高时域边界元处理弹性动力学问题的计算精度和效率。

本发明提供了一种基于时空积分域处理时域边界元奇异积分的方法，包括以下步骤：

首先，通过奇异分离法处理奇异子矩阵元素，采用线性单元进行离散时，将所有变量转变为对r的函数，将形函数N₁、N₂，及线元dΓ用dr来表示，则对角线元素为：

——t_m瞬时e单元第1点位移对p点位移的影响系数；

L^e——单元的长度；

ρ——材料密度；

c_s——剪切波波速，

c_d——压力波波速；

μ——剪切模量；

λ——拉梅常数；

r——源点与场点之间的距离；

将式(1)分成奇异部分和非奇异部分，表达式如下：

在计算公式(2)时，建立关于r-τ的时空坐标系，

取r₁＝c_w(t-t₁)，r₂＝c_w(t-t₂)，r_τw＝c_w(t-τ)，t_Lw＝t-r/c_w；

横轴τ表示脉冲作用于该单元结点的时间，纵轴r表示脉冲作用节点到计算点的距离，直线r＝L表示边界单元的长度，由于只在本单元计算，限定了积分上限，[t₁，t₂]表示一个时间单元；斜直线r＝c_w(t-τ)表示τ时刻从场点Q发出的脉冲在t时刻将要到达源点P，在源点P存在波前奇异性；斜直线r＝c_w(t-τ)上方表示脉冲未传播到的区域(r>c_w(t-τ)且r<L)，对源点P的响应无任何影响，不予考虑；斜直线r＝c_w(t-τ)下方表示脉冲已传过的区域(r<c_w(t-τ)且r<L)；

根据r₁、r₂与L的相对位置关系，将积分域分成三种可能的积分域进行讨论；当r₁≥L且r₂≥L时，在r-τ的坐标系内是矩形域，为第一种积分域；当r₁>L且r₂<L时，在r-τ的坐标系内是混合域，为第二种积分域；当r₁≤L且r₂≤L时，在r-τ的坐标系内是梯形域，为第三种积分域；由于三种积分域适合先r的积分，后τ的积分，因此与前面非奇异元素求解有所不同；

(1)先对r积分对r积分的过程中可能会遇到空间奇异性和波前奇异性；

对于第一种积分域，即矩形域，即r₂≥L，所有空间积分可以计算如下：

下标中“u”表示积分上限值，“l”表示积分下限，下同；

对于第二种积分域，即混合域，即r₂≤L且r₁≥L。τ∈[t₁，t_Lw)，是矩形域，按矩形域的方法计算；τ∈[t_Lw，t₂]，是梯形域，按梯形域的方法计算；

对于第三种积分域，即梯形域，即r₁≤L，所有空间积分可以计算如下：