[发明专利]一种弹性板结构的振动分析方法

权利要求书

1.一种弹性板结构的振动分析方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一.利用卡诺高阶截取技术对弹性板结构厚度方向位移进行拟合，拟合形式如下：

其中，x,y和z为空间坐标系的坐标，Φ(x,y,z)为弹性板结构的整体位移，表示弹性板结构面内位移，i＝1,2,…,N+1，F_i为泰勒展开式中的第i项，h为弹性板的厚度，N为泰勒展开的阶次；Φ取U、V、W，相应取u,v,w分别对应x，y和z三个方向上的位移分量；

步骤二.采用二维改进傅里叶级数对弹性板结构面内位移进行全求解域展开，具体形式如下：

其中和为相应展开项的系数，λ_m＝mπ/L₁和λ_p＝pπ/L₂，L₁和L₂分别为结构在x和y方向的结构几何尺寸；M，P为截断项数；X_m和Y_p分别为x和y的函数，为相应项的系数，ξ_k(x)和η_g(y)为补充函数，补充函数表达式为：

步骤三.由弹性板结构截面面内位移和轴向位移计算弹性板结构的整体位移，具体表达式如下：

其中，U(x,y,z)，V(x,y,z)和W(x,y,z)分别对应空间坐标x，y和z三个方向上的位移分量，A_mpi，B_mpi和C_mpi为位移分量中相应项的系数；

步骤四.计算弹性板结构的应变向量和应力向量；

所涉及弹性板结构的应变向量的表达式为：

ε＝[ε_x,ε_y,ε_z,γ_xy,γ_yz,γ_xz]^T

其中，ε表示弹性板结构的应变向量；上标T表示转置；ε_x，ε_y和ε_z为正应变分量；γ_xy，γ_yz和γ_xz为切应变分量，且有

所涉及应力向量的表达式为：

σ＝Dε

其中，σ表示弹性板结构的应力向量，D为结构材料系数矩阵；

步骤五.计算弹性板结构的应变能和动能方程，并设置虚拟弹簧边界从而获取边界能，具体表达式如下：

其中，V_s，T_p和V_p分别为弹性板结构的应变能，动能和边界能；t表示时间，ρ为材料的密度；和为板面内x方向x＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内x方向另一端x＝L₁处所设的虚拟弹簧边界；和为板面内y方向y＝0端所设的虚拟弹簧边界，和为板面内y方向另一端y＝L₂处所设的虚拟弹簧边界；

步骤六.建立结构拉格朗日能量泛函Ω＝V_s+V_p-T_p，然后对其中的系数A_mpi，B_mpi和C_mpi求偏导并令其结果为零，计算得到弹性板结构的核心质量矩阵和刚度矩阵；核心矩阵中的元素如下：

其中K_mnpqij为核心刚度矩阵，M_mnpqij为核心质量矩阵，上角标a，b和c为核心矩阵中元素的标号；下角标m,n＝1,…,M+3；p,q＝1,…,P+3；i,j＝1,…,N+1；X′_m，Y′_p和F′_i分别表示X_m，Y_p和F_i的一阶导数，同理X′_n，Y′_q和F′_j分别表示X_n，Y_q和F_j的一阶导数；D₁₁,…,D₆₆为结构材料系数矩阵D中的元素；

步骤七.通过迭代循环核心矩阵求得总体质量矩阵M和总体刚度矩阵K，进而得到结构的特征方程；

所述质量矩阵和刚度矩阵的求解方法为：指针i，j由1取到N+1循环核心刚度矩阵K_mnpqij得到子子矩阵K_mnpq，指针p，q由1取到P+3循环子子矩阵K_mnpq得到子矩阵K_mn，指针m，n由1取到M+3循环子矩阵K_mn得到总体刚度矩阵K；

所述结构的特征方程表达式为：

(K-ω²M)A＝0

其中ω为圆频率，A为对应ω的特征向量；

步骤八.计算弹性板结构的固有频率，根据特征向量输出结构的振型。