[发明专利]一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法

权利要求书

1.一种基于适应性结构低秩矩阵的快速磁共振图像重建方法，包含以下步骤：

(1)获取磁共振图像的部分k空间数据；

(2)利用图像一阶、二阶偏导矩阵对应的k空间矩阵与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵；

(3)基于托普利兹矩阵的低秩性，利用获取的部分k空间数据建立磁共振图像重建模型；

(4)将托普利兹矩阵改写并进行特征值分解，得到特征值与特征向量；

(5)利用求取的特征值和特征向量计算归零滤波矩阵并转化为权重系数矩阵带入重建模型中；

(6)引入辅助变量和拉格朗日乘子，利用交替方向乘子算法分别迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子，交替方向乘子算法简称为ADMM算法；

(7)判断当前重建图像结果是否满足收敛条件，若满足进入步骤(8)，否则进入步骤(6)继续利用ADMM算法迭代求解重建图像、辅助变量与拉格朗日乘子；

(8)判断是否满足迭代次数，若满足则获得最终重建的磁共振图像，否则利用当前步骤中得到的磁共振图像更新托普利兹矩阵，返回步骤(4)继续进行循环迭代操作；

其特征在于，步骤(2)中所述托普利兹矩阵的建立过程为：

f为空间域的重建图像，f₁和f₂分别为f的分块常数部分与分块线性部分，有f＝f₁+f₂，其k空间的表示分别为和利用f₁的一阶偏导数和f₂的二阶偏导数分别对应的k空间数据与二维滤波器进行卷积操作得到托普利兹矩阵：

其中，为f₁的x方向上一阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的，为f₁的y方向上一阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的；为f₂三个方向上的二阶偏导数对应的k空间数据与二维滤波器卷积得到的，如式(1)，将和分别按行排列，得到与两个托普利兹矩阵，且这两个矩阵均具有低秩性。

2.如权利要求1所述的方法，其特征在于，对于步骤(3)中所述磁共振图像重建模型为：

其中A为磁共振图像傅里叶变换后k空间欠采样操作算子，b为获得的k空间欠采样数据，表示p范数，β₁与β₂为用于平衡数据一致性项和正则项与的两个正则化参数；式(2)的目的即为通过最小化代价方程，获得与通过将与相加得到完整的k空间磁共振数据经傅里叶反变换后重建出空间域的磁共振图像f。

3.如权利要求2所述的方法，对于步骤(4)中将托普利兹矩阵改写并进行特征值分解，得到特征值与特征向量，其过程为：

通过对进行行扩充，得到替代矩阵再利用替代矩阵求取格拉姆矩阵：

表示的共轭转置矩阵，对进行特征值分解，得到其特征值与特征向量N为非零特征值的个数。

4.如权利要求3所述的方法，对于步骤(5)中利用求取的特征值和特征向量计算归零滤波矩阵并转化为权重系数矩阵带入重建模型中，其过程为：

通过步骤(4)中计算得到的特征值与特征向量，计算令归零化的归零滤波器h:

其中，表示h[-k]的共轭向量，同理p为建模过程中用到的范数值，ε为平滑参数，*表示乘法运算；再对进行如下改写：

其中，Tr[]为求取矩阵迹的运算，||·||_F表示F范数，h_j为的第j列，将h_j带入上式，可以得到如下形式：

其中，D_i为通过归零滤波矩阵h求取的权重系数矩阵；F*表示傅里叶反变换，M₁与M₂分别表示空间域图像一阶与二阶偏导操作所对应的k空间的操作算子。

5.如权利要求4所述的方法，对于步骤(6)中引入辅助变量、拉格朗日乘子并利用ADMM算法求取重建图像、辅助变量和拉格朗日乘子的过程为：

其中，表示辅助变量，q_i为拉格朗日乘子，γ_i为固定大小的系数，(n+1)表示第n+1次迭代求解，(n)表示第n次迭代，F表示傅里叶变换。