[发明专利]一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法

权利要求书

1.一种用于选址问题的鲁棒优化模型求解方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

1)建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型，并转化为对应的参数约束模型；具体步骤如下：

1-1)建立用于选址问题的鲁棒凸优化模型；

设有N个服务对象，N≥2，为任意服务对象i∈{1，...，N}选择最优的服务中心的位置建立基于选址问题的鲁棒凸优化模型表达式如下：

s.t.||q_i-x_i||≤δ_i (1)

在给定服务中心的位置后，表示服务对象的最坏情况下的总代价，式(1)的目标就是最小化最坏情况的总代价；

其中，x_i为服务对象i的量测位置坐标；q_i为服务对象i的实际位置坐标；δ_i为服务对象i量测位置和实际位置偏差的上界；c_i为服务对象i与服务中心的距离代价系数；x为服务中心选址的位置；

1-2)将步骤1-1)建立的鲁棒凸优化模型转化为对应的参数约束模型；

引入松弛变量t₁，...，t_N，将式(1)转化为如下所示的无限约束优化模型：

引入如下符号：

c＝[0，0，c₁，c₂，...，c_N]^T

t＝[t₁，t₂，...，t_N]^T

θ＝[x；t]^T

q＝[q₁；...；q_N]^T

f_i(θ，q)＝||x-q_i||-t_i

Q＝B(x₁，δ₁)×…×B(x_N，δ_N)

其中，B(x_i，δ_i)(i＝1，...，N)表示中心坐标为x_i，半径为δ_i的球，×表示笛卡尔积，则式(2)转化为如下所示的参数约束模型：

其中，是参数q的不确定集合，为凸函数，

2)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型，决定不确定集采样的样本个数，将约束条件分配到进程上并构建进程之间的通信的权重矩阵；具体步骤如下：

2-1)将步骤1)得到的参数约束模型转化为近似模型；

假设参数是以相互独立的均匀分布采样自不确定集合Q，建立如式(3)所示模型经不确定参数采样的近似模型如下：

其中，N_bin表示不确定集采样的样本个数；

如式(4)所示的近似模型将如式(5)所示的包含无穷个不确定带参数约束构成的集合减弱为如式(6)所示的包含有限约束构成的集合：

Θ_scenario＝{θ|f(θ，q⁽ⁱ⁾)≤0，i＝1，...，N_bin，q⁽ⁱ⁾∈Q}， (6)

其中，Θ_robust为鲁棒可行集，Θ_scenario是参数采样后的约束构成的集合即情景鲁棒可行集；

2-2)决定不确定集采样的样本个数；

给定式(3)中的决策变量记表示该决策变量在不确定参数集合下的不可行概率；若存在参数∈，δ∈(0，1)，使得概率不等式成立，则样本个数满足：

其中，e＝2.718为自然底数；

2-3)将约束条件分配到进程上；

设总共有m个进程，将N_bin个约束划分到每个进程上，令进程j处理n_j个约束，则n₁+…+n_m＝N_bin；

对于进程1≤j≤m，引入函数向量：

则每个进程处理的约束表达式如下：

f_j(θ)≤0，j＝1，...，N_bin (8)

2-4)构建进程之间的通信的权重矩阵；

用图来刻画进程之间的通信连接关系，其中表示m个进程，；对于任意两个进程边(i，j)∈ε当且仅当i从j直接获取信息；若边(i，j)∈ε，则对该边赋予权值a_ij＞0；若边则对该边赋予权值a_ij＝0；对所有的边赋予对应权值后，形成权重矩阵A＝[a_ij]；

3)对步骤2)的近似模型求解，得到选址问题的最优解；

令图是强连通的，即对于任意存在p个进程使得边(i，i₁)，(i₁，i₂)，...，(i_p-1，i_p)，(i_p，j)∈ε；分别针对无向图和有向图两类通信网络提出两种分布式优化算法，具体如下：

3-1)针对无向图网络的分布式原始对偶次梯度算法；

对于无向图，(i，j)∈ε当且仅当(j，i)∈ε，对于任意一个进程i，记它的邻居构成的集合为对于函数f(θ)，记f₊(θ)＝max{0，f(θ)}为f的非负部分，并记0_n表示n维的零向量；如式(4)所示的模型与下面模型形式等价：

对式(9)中第一行等式约束引入拉格朗日乘子对第二行等式约束引入拉格朗日乘了分布式地更新θ_j及λ_j，γ_j，将使θ_j同时收敛到如式(4)所示模型的最优解；具体步骤如下：

3-1-1)初始化：对每个进程初始化轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2，约束对应的拉格朗日乘子分别初始化为λ_j＝0_N+2及

3-1-2)局部信息交换：对于每个进程首先将其当前状态θ_i传递给它的邻居进程；当进程i从其邻居进程收到θ_j后计算然后再将预更新的对偶变量回传给它的邻居进程

3-1-3)局部变量更新：当每个进程收到回传的预更新对偶变量之后，每个进程按照如下方式更新变量：

λ_j←λ_j+ζb_j，

γ_j←γ_j+ζg_j(θ_j)，

其中，s_j是g_j在θ_j处的次梯度，即ρ是一个正的惩罚因子，ζ取步长

3-1-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-1-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设置的最大迭代步数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，得到选址问题的最优解；

3-2)针对有向图网络的分布式Polyak随机投影算法；

对于任意一个进程i，记它的入邻居进程集合为出邻居集合为具体步骤如下

3-2-1)初始化：对每个进程设置迭代轮次k＝0，解的状态θ_j＝0_N+2；

3-2-2)局部信息交换：每个进程j∈v将变量θ_j传递给对应的出邻居；

3-2-3)局部变量更新：每个进程接收到对应的入邻居发送的向量后采用如下方式更新变量：

计算

以均匀分布随机选取ω_j∈{1，...，n_j}

其中，d_j是在v_j处的次梯度，ζ为满足如下条件的步长：

3-2-4)结束一次迭代，设置k＝k+1；

3-2-5)重复步骤3-1-2)至3-1-4)，直至k≥k₀，迭代求解结束，其中k₀是预先设定的最大迭代次数；求解完毕后，每个θ_j的前两维表示选址位置的坐标，后N维表示N个服务对象的代价函数，得到选址问题的最优解。