[发明专利]一种基于分数阶线性近似的三维时域电磁慢扩散模拟方法

说明书

本发明涉及一种基于分数阶线性近似的三维时域电磁慢扩散模拟方法，通过将广义电导率表达式引入Maxwell方程组产生分数阶积分项，将含有分数阶积分项的等式两端同时求导，将分数阶积分转为分数阶微分。将分数阶微分项进行线性近似，并进行频时转换得到近似的时间域的整数阶微分，完成从分数阶到整数阶的转换，避免了分数阶微积分运算对每一时刻电场值的存储。最后基于有限差分算法对控制方程各偏导项进行近似，并推导出电场和磁场各分量迭代方程。最终实现了三维时域电磁慢扩散的高精度、长时窗数值模拟。本发明目的在于可以克服分数阶微积分时间域直接运算具有弱奇异性及内存消耗巨大的问题，实现了分数阶电导率模型的快速模拟计算。

技术领域

本发明涉及一种地球物理勘探领域的三维时域电磁慢扩散模拟方法，尤其是对时域航空电磁慢扩散的数值模拟。

背景技术

随着地球物理勘探技术的快速发展，高精度的勘探仪器的研制，尤其是超导传感器(SQUID，Superconducting Quantum Interference Device)的逐渐成熟和应用，很大程度上提升了探测分辨率和深部勘探能力。随着勘探精度的提高，研究人员在进行时域电磁测量时，观察到了一些与电磁场经典扩散不相符的现象，其中一种被称为慢扩散现象(Sub-diffusion)。慢扩散主要是指感应电动势在地层结构均匀地区衰减速度慢于理论的5/2幂率衰减的现象，目前已经引起了地质工作者的高度重视。

时域航空瞬变电磁法(Time domain Airborne Transient electromagneticmethods)发射系统与接收系统均在空中，相比于地面瞬变电磁法(Ground Transientelectromagnetic methods)，航空电磁法能够更加适应复杂多变的地质环境，目前已被大量的用于金属矿、煤炭、油气的勘查，水文地质调查和环境监测等领域。

时域有限差分(Finite-difference Time-domain)方法是电磁场数值计算的重要方法之一，它的基本思想是用中心差商代替场量对时间和空间的一阶偏微商,通过在时域的递推模拟波的传播过程,从而得出场分布，目前已被广泛应用于电磁场数值模拟计算中。

在国外关于电磁场慢扩散研究方面，Mark E.Everett团队(2009，2012，2015)，基于可控源电磁感应法，推导了粗糙介质模型的频率域分数阶扩散方程，并基于G-S变换算法，计算了时域随机介质模型的电磁响应。而国内关于电磁慢扩散研究主要围绕电导率随空间随机变化的结构，并没有关于电导率算随时间变化的慢扩散研究。

中国专利CN107766666A公开了一种基于分数阶差分法的三维时域电磁反常扩散模拟方法,采用Riemann-Liouville分数阶积分和有限差分方法对扩散方程的积分和微分项进行时域离散，实现了三维时域电磁反常扩散的数值模拟。

中国专利CN 104392127A公开了一种基于离散分数阶差分的反常扩散模拟方法，采用描述扩散现象的一维经典扩散方程定义离散分数阶差分，利用离散分数阶差分将经典扩散方程离散化，根据初边界条件进行数值模拟。

中国专利CN 106776478A公开了一种反常扩散中的基于分步计算的离散分数阶差分方法，减小了gamma函数计算的限制，扩展模拟的点数，提高模拟的效率。

中国专利CN107657137A公开了一种有理函数逼近的分数阶电磁反常扩散三维模拟方法，基于频域有理函数逼近法，构建科尔-科尔模型分数阶传递函数和n阶有理逼近函数，采用部分分式展开法和拉普拉斯逆变换获得电导率的时域形式，实现分数阶科尔-科尔模型三维电磁响应数值计算。

以上所述方法公布了国内外关于反常扩散的研究方法。但对电磁反常扩散中慢扩散现象，目前还没有关于在时间域直接进行分数阶三维有限差分运算的研究，且对于分数阶算子在时间域直接运算具有内存消耗大、计算耗时长、弱奇异性导致结果不稳定等问题，如何在电磁慢扩散领域中高效准确的进行分数阶差分运算，是对待本领域技术人员迫切解决的一个技术问题。