[发明专利]一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法

权利要求书

1.一种基于线性规划评估含有凸多面体不确定性参数结构静力位移边界方法，其特征在于，实现步骤如下：

第一步：考虑存在于结构刚度和外载荷中的不确定性参数，基于凸集合的定义，将结构刚度K和外载荷f不确定性参数分别表示为参数顶点的线性凸组合，即：

和

其中，K_p(p＝1,2,…,m₁)和f_q(q＝1,2,…,m₂)分别表示结构刚度凸多面体各顶点n×n维矩阵和外载荷凸多面体各顶点n维向量，m₁和m₂分别表示结构刚度和外载荷凸多面体顶点数量，α_p(p＝1,2,…,m₁)和β_q(q＝1,2,…,m₂)分别表示结构刚度和外载荷线性凸组合系数，α＝(α_p)和β＝(β_q)分别为其线性凸组合系数向量；

因此，结构刚度K＝K(α)和外载荷f＝f(β)所在集合分别用如下凸多面体表示：

其中，K^S(α)和f^S(β)分别为结构刚度K＝K(α)和外载荷f＝f(β)所在凸多面体集合；此时，结构刚度K＝K(α)和外载荷f＝f(β)被称为凸多面体不确定性参数；

第二步：利用第一步表征的凸多面体不确定性结构刚度K＝K(α)和外载荷f＝f(β)，含有凸多面体不确定性参数的结构静力响应方程表达式如下：

K(α)u＝f(β)

其中，u为结构静力位移向量，其解集表示为：

U＝{u:Ku＝f,K∈K^S(α),f∈f^S(β)}

上式即为不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型；

第三步：基于第二步建立的不确定性结构静力响应问题的凸多面体模型，分别任取参数凸多面体内含边界的结构刚度K_k和外载荷f_l，此时，结构静力响应方程如下：

K_ku_kl＝f_l

为简化表示，后续用向量u替代表示静力位移u_kl，u用两个正向量相减表示，即：

其中，u'和u”均为正向量，I表示单位矩阵；

利用如下向量、矩阵变换公式：

A_k＝K_k(I-I)

其中，y是2n维正向量，A_k是n×2n维矩阵；

从而，原静力响应方程用如下线性方程组表示：

A_ky＝f_l

第四步：基于第三步转化得到的线性方程组，解向量y取得最大值y_max或最小值y_min用标量y的最大值y_max或最小值y_min表示：

y_max＝y_1max+y_2max+…+y_2nmax＝(1,1,…,1)y_max,y_min＝y_1min+y_2min+…+y_2nmin＝(1,1,…,1)y_min

令c＝(1,1,…,1)^T，上式表示为：

y_max＝c^Ty_max＝max{c^Ty},y_min＝c^Ty_min＝min{c^Ty}

因此，由于结构刚度K_k和外载荷f_l的任意性，含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移边界用如下线性规划问题的标准形式表示：

第五步：基于第四步推导得到的线性规划问题标准形式，对于结构刚度和外载荷参数在各自定义域内变化，即各自凸多面体内含边界变化时，通过对结构刚度凸多面体各顶点矩阵和外载荷凸多面体各顶点向量进行组合，形成组合线性规划问题如下：

上述组合线性规划问题的最大值和最小值在可行域D＝{y:A_py＝f_q,y≥0,p＝1,2,…,m₁,q＝1,2,…,m₂}的顶点上取得，通过分别求解一系列线性规划子问题的可行域顶点值来获得，将这些顶点记为y_pq(p＝1,2,…,m₁,q＝1,2,…,m₂)，这些顶点中的最大值和最小值分别为组合线性规划问题的最大值和最小值，即：

y_max＝max{y_pq:A_py_pq＝f_q,y_pq≥0,p＝1,2,…,m₁,q＝1,2,…,m₂}

y_min＝min{y_pq:A_py_pq＝f_q,y_pq≥0,p＝1,2,…,m₁,q＝1,2,…,m₂}

利用第三步中的向量变换公式，得到：

因此，含有凸多面体不确定性参数结构的静力位移上界和下界表示为：

u_min＝u＝u'_min-u”_max

其中，是u的上界，u是u的下界。