[发明专利]基于低秩分解的电磁有限元-边界元的直接求解方法

说明书

本发明公开了一种基于低秩分解的电磁有限元‑边界元的直接求解方法，方法包括如下步骤：构建电磁场的求解区域，分别建立电磁场的有限元矩阵方程和边界元矩阵方程，通过电磁场的连续性耦合起来，联立得到由有限元矩阵和边界元矩阵组成的有限元‐边界元混合系统矩阵方程；采用近场映射和低秩分解方法分别构建有限元‐边界元混合系统矩阵方程中有限元矩阵和边界元矩阵的H‐矩阵表达式，从而建立有限元‐边界元混合系统的H‐矩阵表达式；使用H‐矩阵格式的LU分解算法和前后向回代算法对整个有限元‐边界元混合系统矩阵方程进行直接求解，获得求解区域的电场和电流分布，并从中获得待求的电磁参数；本发明的方法能将计算复杂度和存储需求降低到接近线性。

技术领域

本发明涉及电磁快速仿真算法领域，尤其涉及一种基于低秩分解的电磁有限元‐边界元的直接求解方法。

背景技术

有限元‐边界元混合方法充分结合有限元法与边界元法的优势，采用有限元法处理物体内部复杂组成和媒质，避免了边界元法难以求解复杂材料问题；采用边界元法分析物体表面的开域问题，避免了使用有限元法截断边界条件带来的未知量增加的问题，在电磁散射和天线辐射等开域仿真分析领域获得了广泛应用。有限元‐边界元法系统矩阵方程的系数矩阵是个部分稠密和部分稀疏矩的矩阵，如何对其进行高效求解一直是有限元‐边界元法领域的难点和研究热点。现有的对于有限元‐边界元法系统矩阵方程常见的求解方法包括：内观公式法、外观公式法和混合公式法。上述方法均属于迭代解法，不仅易受迭代收敛速度问题的困扰，而且在处理多激励问题时存在大量冗余计算(X.Q.Sheng,J.M.Jin,J.Song,C.C.Lu,W.C.Chew,On the formulation of hybrid finite‐element andboundary‐integral methods for 3‐D scattering,IEEE Trans.Antennas Propagat.,vol.46,pp.303‐311,1998)。预条件方法能从一定程度上缓解但并不能完全消除迭代收敛速度的问题。直接解法是指基于待求矩阵直接分解的求解方法，其效率独立于矩阵性态，相对迭代解法更加稳定，而且对于多激励问题的求解比迭代解法效率高。然而，直接解法具有较高的计算复杂度和内存消耗，因此采用直接解法来求解大规模有限元‐边界元法系统矩阵方程通常被认为是不可行的。

发明内容

本发明的主要目的在于提供一种基于低秩分解的电磁有限元‐边界元的直接求解方法，通过本发明的直接求解方法能够将计算复杂度和存储要求降低至接近线性，既可以避免传统迭代解法的迭代收敛性问题，而且能高效求解多激励问题，具体技术方案如下：

一种基于低秩分解的电磁有限元‐边界元的直接求解方法，所述方法包括如下步骤：

S1：构建电磁场的求解区域，分别建立电磁场的有限元矩阵方程和边界元矩阵方程，通过电磁场的连续性耦合起来，联立得到由有限元矩阵和边界元矩阵组成的有限元‐边界元混合系统矩阵方程；

S2：采用近场映射和低秩分解方法分别构建有限元‐边界元混合系统矩阵方程中有限元矩阵和边界元矩阵的H‐矩阵表达式，从而建立有限元‐边界元混合系统的H‐矩阵表达式；

S3：使用H‐矩阵格式的LU分解算法和前后向回代算法对整个有限元‐边界元混合系统矩阵方程进行直接求解，获得求解区域的电场和电流分布，并从中获得待求的电磁参数。

进一步的，在步骤S2中，还包括步骤：

分别对所述有限元矩阵、边界元矩阵构建电场、电流群树，并对有限元矩阵、边界元矩阵以及它们的耦合矩阵通过群树相互作用产生块树；

采用近场映射方法生成有限元矩阵的H‐矩阵无损表达式，其中远场分解块为零，然后采用矩阵压缩算法来构造远场的低秩分解块，生成所述边界元矩阵的H‐矩阵表达式，进而采用近场映射和矩阵压缩算法，构造有限元‐边界元的耦合矩阵的H‐矩阵表达式，最终获得整个有限元‐边界元混合系统矩阵的H‐矩阵表达式。