[发明专利]一种三角函数框架下新WENO格式构造方法

权利要求书

1.一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，在笛卡尔坐标系下，利用TWENO格式对可压流场问题进行数值模拟，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、把双曲守恒律方程离散为空间半离散的有限差分格式，采用TWENO格式重构通量的近似值；

步骤二、对控制方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式；

步骤三、根据时空全离散有限差分格式得到下一时间层上的近似值，依次迭代，得到计算区域内终止时刻流场的数值模拟值；

所述步骤一中，双曲守恒律方程为：

其半离散格式的形式为：

其中，U＝(ρ,ρu,E)^T表示守恒变量，f(U)＝(ρu,ρu²+p,u(E+p))^T表示通量，U_t表示U对t求导，f(U)_x表示f(U)对x求导，t表示时间变量，x表示空间变量，ρ、u、p、E分别表示流体密度、速度、压强、能量，T表示转置，U₀表示初始状态值，L(U)表示-f(U)_x的空间离散形式；

把空间离散成统一长度的网格单元单元长度单元中心为其中i为坐标序号，有：

其中，和分别表示通量f(U)在目标网格单元I_i的边界和处的五阶近似的数值通量，U_i(t)表示U在目标网格单元I_i内点x_i处的值U(x_i,t)；

其中，求通量f(U)在目标网格单元I_i的边界和处的五阶近似值和具体步骤如下：

步骤1、采用Lax-Friedrichs分裂把通量分裂为其中，

步骤2、将目标网格单元I_i以及其周围共五个网格单元组成一个大模板T₁＝[I_i-2,I_i-1,I_i,I_i+1,I_i+2]，从大模板中选择两个包含两个单元的小模板T₂＝[I_i-1,I_i]和T₃＝[I_i,I_i+1]；

步骤3、在T₁、T₂、T₃每个模板上分别重构三角函数多项式p₁(x)、p₂(x)和p₃(x)，使得：

p₂(x),p₃(x)∈span{1,sin(x-x_i)}；

步骤4、任意取三组线性权：

γ₁＝0.98，γ₂＝0.01，γ₃＝0.01；

γ₁＝1/3，γ₂＝1/3，γ₃＝1/3；

γ₁＝0.01，γ₂＝0.495，γ₃＝0.495；

步骤5、计算光滑指示器β_l，用于衡量重构多项式p_l(x)在目标单元上的光滑度，计算公式为：

其中，l＝1,2,3表示对应模板序号，表示多项式p_l(x)对x的α阶导数，r₁＝4，r₂＝1，r₃＝1；

步骤6、通过线性权γ_l和光滑指示器β_l计算非线性权ω_l，其计算公式为：

其中，τ为计算过程中的过渡值，ε＝10^-6；

步骤7、求出数值通量分裂f⁺(U)在点处的TWENO重构值：

同理，求出数值通量分裂f^-(U)在点处的TWENO重构值、数值通量分裂f⁺(U)在点处的TWENO重构值、数值通量分裂f^-(U)在点处的TWENO重构值；

将计算结果代入含有时间导数项的半离散有限差分格式，得到关于时间导数的常微分方程。