[发明专利]一种三角函数框架下新WENO格式构造方法

说明书

一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，一方面，用三角函数多项式构造的加权基本无振荡格式比用代数多项式构造的经典基本无振荡格式更易于模拟波类或高频振荡类问题，在光滑区域可以获得高阶数值精度，在激波和接触间断处保持基本无振荡的性质；另一方面，新的TWENO格式虽然和经典五阶WENO格式用了同样五个点的信息，但能得到更低的全局L¹和L^∞范数截断误差。新的TWENO格式采用的线性权不再需要通过繁冗的数值计算得到最优解，可设为满足和为一的任意正数，相比经典的WENO格式更简便，鲁棒性更强，更易于推广到高维空间。该新型TWENO格式有效地数值模拟了几个经典的欧拉问题，充分验证了有效性。

技术领域

本发明属于计算流体力学工程技术领域，具体涉及了一种三角函数框架下新WENO格式构造方法。

背景技术

在工程应用中，流场问题常常出现，比如气体动力系统和浅水建模等。因此，制定解决这类问题的鲁棒的、精确的、高效的数值模拟方法至关重要，也吸引了很多研究者的兴趣。1959年，Godunov为解流场问题提出了一阶精度的数值模拟格式。一阶精度的数值模拟方法在捕捉激波时不会出现非物理的数值振荡但会过度抹平强间断，而往往强间断对问题的后续研究有着重要意义，因此需引进高精度数值计算格式模拟强间断类问题。

为了提高格式的精度，模拟解的结构以及准确的捕捉激波位置，Harten于1983年首次提出了TVD(Total Variation Diminishing)格式，并在此基础上与Osher于1987年提出了ENO(Essentially Non-Oscillatory)高精度格式。ENO格式的主要思想是在逐次扩展的模板中选用最光滑的模板构造多项式求出单元边界处的值，进而在光滑区域达到高阶精度、高分辨率，同时在间断附近实现基本无振荡的效果。但是，在方法的实现过程中，ENO格式最终只选用所有候选模板中最优的模板，造成计算结果的浪费，且构造的精度越高浪费的越多，导致计算效率不高。因此，Liu，Osher和Chan等于1994年提出了WENO(WeightedEssentially Non-oscillatory)格式，提高了计算结果的利用率并且使得r阶精度的ENO格式提高到r+1阶精度。1996年，Jiang和Shu进一步改善了WENO格式，使得数值精度能够提高到2r-1阶，并设计出新光滑因子和非线性权的构造框架。WENO格式的主要思想是通过低阶重构通量的线性凸组合获得高阶近似。但该经典WENO格式的实现过程中，线性权依赖于母模板，且其求解过程相当复杂，因此，2016年Zhu和Qiu改善了该WENO格式，在维持精度不减的情况下，随机选取大于零且总和为一的线性权。这些格式已被成功地用到很多应用领域，特别是包含激波和复杂解结构的问题，比如模拟可压缩湍流系统和空气声学系统等。

波类和高频振荡类问题在工程应用中常常出现。然而，对模拟此类问题的更适合的三角函数多项式插值WENO格式的研究较少。虽然Baron于1976年研究三角函数插值呈现了Neville类方法，Muhlbach提出了牛顿三角函数插值，但是这些成果不能直接应用于ENO类插值格式。为此，Christofi于1996年提出了能直接用于ENO格式中的三角函数重构方法。Zhu和Qiu于2010年提出了用三角函数多项式重构WENO格式的方法，但计算复杂，不易实现。

发明内容

本发明针对现有技术中的不足，提供一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，能针对各种可压流场问题，进行高精度数值模拟。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

一种三角函数框架下新WENO格式构造方法，在笛卡尔坐标系下，利用TWENO格式对可压流场问题进行数值模拟，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、把双曲守恒律方程离散为空间半离散的有限差分格式，采用TWENO格式重构通量的近似值；

步骤二、对控制方程中的时间导数使用三阶TVD Runge-Kutta离散公式将半离散有限差分格式离散成时空全离散有限差分格式；