[发明专利]一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法

权利要求书

1.一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：针对非线性弹性物体模型，给定离散为由一系列单元和顶点构成的粗网格和细网格，用分段线性矩阵形函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得粗网格变形后的位移场，使用线性插值函数作为位移插值函数用有限元法求解计算获得细网格变形后的位移场；粗网格对应的有限元法中的形函数采用特殊设计的分段线性矩阵形函数，分段线性矩阵形函数为不连续的形函数；

所述的分段线性矩阵形函数在粗网格单元内某一点的值等于一系列采样值的线性插值，表示如下：

式中，表示粗网格单元所占的空间区域,表示粗网格单元所占的空间区域内各个细网格单元所占的空间区域；X表示非线性弹性物体模型上一点的坐标，为一个向量；是点X所在粗网格单元上顶点i的形函数，作为分段线性矩阵形函数，i为点X所在粗网格单元上的一个顶点；分段线性矩阵形函数采用矩阵形式，矩阵维度为d×d；n_ij表示形函数在所在粗网格单元内细网格单元顶点j处的采样值，为一个矩阵；为点X所在细网格单元上顶点j的插值函数，所有细网格单元的插值函数采用线性插值函数，j为点X所在细网格单元上的一个顶点；

针对所述采样值进行求解，具体是：使形函数所对应的位移场转化为线性二次规划问题，使满足几何条件、物理条件和正则化，对线性二次规划问题进行求解获得采样值，从而得到分段线性矩阵形函数；线形二次规划问题公式如下：

式中，I为d×d的单位矩阵，表示分段线性矩阵形函数的导数，M表示单位四阶张量，为点X所在粗网格单元上顶点i的坐标，为点X所在粗网格单元上顶点k的坐标，表示点X所在细网格单元上顶点j的坐标，a、b为三维的笛卡尔坐标系下x、y、z三轴方向中的任意两个坐标方向，且取相同值，为坐标处ab方向的典型位移；tr()为迹函数，[·]_×来表示矩阵外积，当i＝k时，δ_ik为1，当i≠k时，δ_ik为0；

上述公式中的典型位移计算是求解以下公式表示的带诺伊曼边界条件的线性化弹性静力学问题：

式中，表示散度计算，σ为应力张量，e_a为第a个坐标方向的单位向量，e_b为第b个坐标方向的单位向量，n为边界上的法向量，T表示转置，σ(h_ab)表示典型位移下的应力张量，h_ab表示ab方向的典型位移场，insideΩ表示在物体内，表示在物体边界上；

求解上述公式时使用有限元法求解，并且将应变能的海森矩阵设为一个常量矩阵，等于弹性体处于静止状态时的海森矩阵，形函数采用线性插值函数，并且附加以下的第零阶和第一阶惯性矩约束：

式中，为变形后粗网格上的顶点参数坐标，为初始状态粗网格顶点坐标的平均值；

使用以下公式表示的带有局部标架的分段线性矩阵形函数插值获得位移场时：

式中，u(X)表示物体上X处的位移场；R_e为局部标架；R_e等于X所在粗网格的变形梯度的极分解中的旋转矩阵。

2.根据权利要求1所述的一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：在有限元求解中，非线性弹性物体模型上的一点的位移由该点所在粗网格单元的顶点通过分段线性矩阵形函数插值得到，位移场离散在每一个顶点上，由所有位移构成位移场；并且在分段线性矩阵形函数插值过程中，采用局部标架辅助计算保证插值对坐标变换的不变性。

3.根据权利要求1所述的一种加速有限元求解物体网格模型弹性变形的方法，其特征在于：采样值的位置为细网格单元上的各个顶点位置，且采样值的数量等于该粗网格单元细分后的细网格单元中的顶点总数。