[发明专利]一种基于非对称有限元算法的材料尺度效应分析方法

权利要求书

1.一种基于非对称有限元算法的材料尺度效应分析方法，其特征在于，步骤如下：

步骤一：基于修正的偶应力理论对材料的本构模型进行简化，确定材料的拉梅常数与特征尺度参数；所述的步骤一具体为：

1.1，修正的偶应力理论中三个独立的位移分量为：

u₁,u₂,u₃ (1)

式中，u表示位移，公式中分别使用下标1、2、3表示x、y、z三个坐标轴方向；

应变张量ε的分量可由位移分量对坐标求一阶偏导得到：

ε₁₁＝u_1,1,ε₂₂＝u_2,2,ε₃₃＝u_3,3 (2)

式中，ε_ij,(i,j＝1～3)是应变的9个分量；公式中使用下标逗号“，”来表示求偏导运算；

曲率张量χ的分量则由位移分量对坐标求二次偏导得到：

式中，χ_ij,(i,j＝1～3)是9个曲率分量；

1.2在修正的偶应力理论中，应力张量σ的分量为：

σ₁₁,σ₂₂,σ₃₃,σ₁₂＝σ₂₁,σ₁₃＝σ₃₁,σ₂₃＝σ₃₂ (6)

其与应变分量之间的本构关系可以表示为：

σ_ij＝λ(ε₁₁+ε₂₂+ε₃₃)δ_ij+2Gε_ij,(i,j＝1～3) (7)

式中λ和G材料的拉梅常数，δ_ij是克罗内克符号；

偶应力张量m的分量为：

m₁₁,m₂₂,m₃₃,m₁₂＝m₂₁,m₁₃＝m₃₁,m₂₃＝m₃₂ (8)

其与曲率分量之间的本构关系可以表示为

m_ij＝2Gl²χ_ij,(i,j＝1～3) (9)

式中l是材料特征尺度参数；

步骤二：在步骤一的基础上建立结构的力学模型，然后使用软件进行网格划分得到有限元网格模型；

步骤三：使用非对称有限元算法对步骤二建立的力学模型进行求解，然后从计算结果中提取出位移与应力各自的最大值；所述的步骤三的求解过程以虚功原理为理论基础，具体为：

3.1，首先写出虚功原理的表达式：

式中Ω表示问题的控制域，Γ表示控制域的边界；矢量f和R分别表示结构所受到的体积外力与表面外力；δ为变分符号；

3.2，式(10)是一组满足协调条件的位移场，由单元节点自由度插值而得：

式中q^e是单元节点自由度矢量，是插值函数矩阵；

表示是由位移产生的应变矢量：

式(12)具体可根据式(2)与式(3)得到；

表示由位移产生的曲率矢量：

式(13)具体可根据式(4)与式(5)得到；式(12)和式(13)中，和是相应的应变和曲率插值矩阵；

3.3，式(10)中，矢量表示用于作为单元试探函数的应力场，矢量表示用于作为单元试探函数的偶应力场，其可以分别表示为

和是相应的应力与偶应力插值矩阵；

3.4，由式(10)出发推导所得最终的有限元刚度矩阵K^e可以表示为：

步骤四：对有限元网格模型进行精细化处理，然后再次使用非对称有限元算法进行求解，并得到一组新的最大位移值与最大应力值；

步骤五：评估前后两次数值计算的结果是否满足用户预先设定的收敛准则或预先设定的计算精度；

如若不满足，则进一步通过减少网格尺寸、增加网格密度来细化有限元网格模型，并重复步骤四与步骤五，然后再次进行收敛性判断，直至满足设定的收敛准则以及所需的计算精度；

如若满足，则最后一次计算所得的结果即为符合要求的有限元计算最终结果。