[发明专利]基于联合低秩和稀疏表示的张量结构性缺失填充方法

权利要求书

1.一种基于联合低秩和稀疏表示的张量结构性缺失填充方法，其特征是，步骤如下，基于TT低秩张量填充理论引入TT低秩先验对潜在张量进行约束；同时，考虑到张量沿着各个维度的纤维信号能够由字典来进行稀疏表示，并且前一维度的缺失纤维能够通过在下一个维度上对纤维信号进行稀疏约束来进行恢复，因此对每个维度的纤维信号都引入稀疏约束；基于上述联合TT低秩与各个维度的稀疏先验，将带有结构性缺失的张量填充问题具体地表述为求解约束优化问题，从而实现带有结构性缺失的张量填充。

2.如权利要求1所述的基于联合低秩和稀疏表示的张量结构性缺失填充方法，其特征是，将高维数据表示成张量，则待恢复的张量用X表示，观测到的不完整张量用T表示，则该张量填充问题具体地表述为求解如下约束优化方程：

其中||X_[k]||_*代表张量X沿着第k维度进行TT展开后得到的矩阵X_[k]的核范数，所以ω_k||X_[k]||_*代表模型的低秩先验项，α_k代表张量X沿着第k维进行Tucker展开后得到的矩阵X_(k)的稀疏系数矩阵，||·||₁表示矩阵的一范数，Ω是观测空间，表示已观测到元素的位置，ω_k代表沿各个维度的TT展开矩阵的权重，γ表示稀疏项的正则化系数，Φ_k表示训练好的用于第k维稀疏表示的字典，通过引入一组辅助变量M₁，M₂...M_k对展开矩阵进行解耦合，从而上述模型重写为：

s.t.X_(k)＝Φ_kα_k，k＝1，...，N

X_[k]＝M_k，k＝1，...，N-1

X_Ω＝T_Ω

采用增广拉格朗日乘子法ALM将约束优化问题(2)转化为无约束优化问题来进行求解，增广拉格朗日方程如下：

其中P_k，Q_k表示拉格朗日乘子矩阵，μ₁、μ₂是惩罚因子，<·，·>表示两个矩阵的内积，||·||_F表示矩阵的弗罗贝尼乌斯Frobenius范数。

3.如权利要求2所述的基于联合低秩和稀疏表示的张量结构性缺失填充方法，其特征是，采用增广拉格朗日乘子法ALM将约束优化问题(2)转化为无约束优化问题来进行求解，具体求解过程为：

先对每个维度在同类型高质量数据集上使用在线字典学习算法训练出字典Φ_k；

初始化权重系数ω_k，权重系数ω_k在迭代中不进行更新，是一个固定的权重向量，它给展开矩阵中结构更加平衡的矩阵赋予更大的权重系数，给结构不平衡的矩阵赋予更小的权重系数；

交替更新矩阵M_k，稀疏系数矩阵α_k，潜在张量X，拉格朗日乘子矩阵P_k和Q_k，惩罚因子μ₁，μ₂，直到算法收敛；

这时迭代的结果X就是恢复的最终解。

具体地，采用交替方向法ADM将方程(3)转换成如下序列进行迭代求解：

上式中的和分别表示使目标函数取最小值时的变量M_k和α_k的值，ρ₁、ρ₂为倍数因子，l是迭代次数。然后按照如下步骤进行迭代求解：

1)求解使用奇异值阈值法(Singular Value Thresholding)SVT求解去掉式子(4)中求解的目标函数里与无关的项，然后通过配方得到：

其中：

对公式(6)使用奇异值阈值法解得：

其中分别是的左奇异矩阵和右奇异矩阵；

2)求解使用加速近邻梯度算法求得

去掉式子(4)中求解的目标函数里与无关的项，得到如下方程：

使用泰勒展开的方法，构造出一个二阶函数来逼近上式，然后针对这个二阶的函数来求解原方程，令再引入变量Z_k，最终解得：

其中，soft(·，·)为收缩算子，代表函数f对的梯度，L_f是一个常数，值为||Φ_k||²，变量的更新规则如下：

其中，t^j是一组常数序列，j是变量迭代次数；

3)求解张量X^l+1：将X^l+1分为两部分求解，在观测空间Ω内，张量的值不进行更新，直接用观测值填充，在观测空间Ω以外，即互补空间内，使用前两步更新得到的和先重组成张量再进行平均得到更新后的元素值，将两部分合起来即为X^l+1的最终解：

4)更新拉格朗日乘子矩阵P_k和Q_k以及惩罚因子μ₁，μ₂：

5)重复上述步骤1)-4)直到算法收敛，这时迭代的结果X^l+1就是原问题的最终解X。