[发明专利]火星大气进入段纵向可达区生成的解析同伦法

权利要求书

1.火星大气进入段纵向可达区生成的解析同伦法，其特征在于：包括如下步骤，

步骤一、建立火星大气进入段探测器纵向动力学模型；

步骤二、基于解析同伦法，从最优解解析已知的辅助问题出发，通过构造同伦参数，延拓出最大航程；

步骤二具体实现方法为，

取最大航程的辅助优化问题如式(5)、式(6)所示；

问题寻找最优控制使得

满足约束：

其中，u为控制变量，u_max为最大允许控制量，σ_max和σ_min分别为倾侧角可以取的最大值及最小值，x₀为探测器在大气进入点的初始状态，V_f为探测器顺利开伞所需满足的末端速度约束；

根据庞特里亚金极小值原理，引入协状态λ＝[λ_r λ_V λ_γ λ_s]^T，问题对应的哈密顿函数为

问题的协状态微分方程为

问题的横截条件如下

由于中不显含时间项，故

由于0≤u_max-u≤u_max-u_min，且终端条件只有速度约束，故将动力学方程按照常值倾侧角σ_min正向积分直到满足终端速度约束为止，即得到问题对应的最优状态和飞行时间；

由式(10)知，将式(9)代入式(10)，得终端速度协状态值

λ_V(τ_f)＝0 (11)

根据式(11)和式(9)的协状态终端值、式(8)的协状态微分方程以及正向积分得到的最优状态和飞行时间逆向积分即可得到辅助优化问题对应的最优轨迹协状态值，即辅助优化问题的最优解是解析已知的；

由辅助优化问题延拓得到原最优问题解的关键在于构建同伦参数；将同伦参数ε置于性能指标中，构建如下的优化问题

问题寻找最优控制使得

满足约束：

其中，u为控制变量，u_max为最大允许控制量，s(τ_f)为终端时刻航程，问题的哈密顿函数为

由于中不显含时间，故成立，则

控制量u以一阶形式出现，故问题的最优解是bang-bang形式，最优解具有如下的形式

问题的协状态微分方程与问题P_s,max相同；横截条件如下

问题的求解转换为求解两点边值问题寻找由协状态初值和终端飞行时间组成的变量z，满足式(13)、式(11)、式(8)和(17)描述的边值条件和微分方程条件，式(15)中的哈密顿函数条件及式(16)中的控制切换条件；

由式(14)知，当ε＝0时，问题等价于问题当ε＝1时，问题等价于最大航程问题；构造递增序列{ε₁,ε₂,...ε_k,ε_k+1,...ε_N}，其中ε₁＝0，ε_N＝1；从ε₁开始，以第k步的解z_k作为第k+1步的问题的初值，依次求解两点边值问题，即能够最终得到原最大航程问题的最优解，即延拓得到最大航程；

步骤三、基于解析同伦法，从最优解解析已知的辅助问题出发，通过构造同伦参数，延拓得到最小航程；

步骤三具体实现方法为，

构造辅助约束优化问题如式(18)和式(19)所示；

问题寻找最优控制使得

满足约束：

问题的哈密顿函数如下

由于中不显含时间项，故

由于0≤u-u_min≤u_max-u_min，且终端条件只有速度约束，故将动力学方程按照常值倾侧角σ_max正向积分直到满足终端速度约束为止，即得到问题对应的最优状态和飞行时间，即辅助优化问题的最优解是解析已知的；

问题为拉格朗日问题，性能指标中只包含与状态变量无关的积分项，且中不显含时间项；故问题的横截条件与问题的横截条件相同，即

从式(22)所示的末端条件出发，根据式(8)的微分方程及积分得到的最优状态和飞行时间，逆向积分即得到该辅助优化问题所对应的协状态值；

构建如公式(24)所示的优化问题；

问题寻找最优控制使得

满足约束：

问题的求解转换为求解两点边值问题寻找由协状态初值和终端飞行时间组成的变量z，满足式(8)、式(11)、式(22)、和式(23)描述的边值条件和微分方程条件，式(15)中的哈密顿函数条件及式(16)中的控制切换条件；

由式(23)知，当ε＝0时，问题等价于问题当ε＝1时，问题等价于最小航程问题；构造递增序列{ε₁,ε₂,...ε_k,ε_k+1,...ε_N}，其中ε₁＝0，ε_N＝1；从ε₁开始，以第k步的解z_k作为第k+1步的问题的初值，依次求解两点边值问题，即能够最终得到原最小航程问题的最优解，即延拓得到最小航程；

步骤四、基于解析同伦法，从最优解解析已知的辅助问题出发，通过构造同伦参数，延拓得到最大开伞高度；

步骤四具体实现方法为，

取性能指标为构建辅助优化问题如公式(25)、(26)所示；

问题寻找最优控制使

满足约束：

由于0≤u²，故问题的最优解为常值σ＝π/2；获取最优状态的方法为从初始状态开始，以常值倾侧角正向积分飞行轨迹；直到满足末端速度约束为止，得到辅助最优问题的最优状态和飞行时间，即辅助优化问题的最优解是解析已知的；

问题的协态微分方程与问题相同，横截条件与问题相同；根据协状态微分方程逆向积分即得到最优轨迹对应的协状态值；

为从辅助优化问题得到最大开伞高度问题的最优解，取性能指标为构建如公式(27)、(28)所示的优化问题；问题寻找最优控制使得

满足约束：

问题的求解转换为求解两点边值问题寻找由协状态初值和终端飞行时间组成的变量z，满足式(8)、式(11)、式(22)、和式(28)描述的边值条件和微分方程条件，式(15)中的哈密顿函数条件及式(16)中的控制切换条件；

由式(27)知，当ε＝0时，问题等价于问题当ε＝1时，问题等价于最大开伞高度问题；构造递增序列{ε₁,ε₂,...ε_k,ε_k+1,...ε_N}，其中ε₁＝0，ε_N＝1；从ε₁开始，以第k步的解z_k作为第k+1步的问题的初值，依次求解两点边值问题，即能够最终得到原最大开伞高度问题的最优解，即延拓得到最小航程；

步骤五、基于解析同伦法，根据步骤二延拓得到的最大航程、步骤三延拓得到的最小航程和步骤四延拓得到的最大开伞高度，通过构造同伦参数，延拓出纵向可达区，所述纵向可达区为开伞点高度-航程剖面；

步骤五具体实现方法为，

取性能指标为构建如公式(29)、(30)所示的优化模型；

问题RA：寻找使得

满足约束：

问题RA与问题P_h,max哈密顿函数相同，故问题RA的横截条件为

构造两个单调航程序列：{s₀,...s_i,s_i+1,...s_I}与{s₀,...s_j,s_j+1,...s_J}，满足s₀为问题P_h,max对应的航程，s_I为问题P_s,min对应的最小航程，s_J为问题P_s,max对应的最大航程，分别从问题P_h,max的最优解出发，按照序列依次求解问题RA，其中第k次的最优解z_k作为第k+1次问题求解初值，延拓出纵向可达区，所述纵向可达区为开伞点高度-航程剖面。

2.如权利要求1所述的火星大气进入段纵向可达区生成的解析同伦法，其特征在于：步骤一具体实现方法为，

在火星惯性坐标系下，忽略火星自转，取探测器的纵向平面内运动状态为x＝[r,V,γ,s]^T，其中，r探测器质心到火星质心的距离，V为探测器速度大小，γ为飞行路径角，s为航程，则大气进入段无量纲的纵向动力学模型为：

式(1)中，τ为无量纲时间，σ为倾侧角；在无量纲化过程中，长度的量纲单位为火星半径R₀，速度的无量纲单位为其中为火表引力加速度，μ为火星引力常数；时间的无量纲单位为角度的单位为弧度，不需要无量纲化处理；式(1)中，L和D分别为探测器受到的无量纲升力和阻力加速度，分别具有如下形式：

L＝D·L/D (3)

式(1)中，B为探测器的弹道系数，L/D为探测器的升阻比，ρ为火星大气密度，采用如下指数模型：

式(4)中，ρ₀为参考密度，h为探测器的飞行高度，h_s为标高。