[发明专利]基于伽马范数最小化的图像去噪方法

权利要求书

1.基于伽马范数最小化的图像去噪方法，其特征在于，包括如下步骤：

一、建立低秩去噪模型

低秩去噪方法的原理可描述如下：将尺寸为M×N的噪声图像y重叠分为n个尺寸为的图像块y_i,i＝1,2,...,n，然后在尺寸为L×L的窗口中搜索与当前图像块y_i最相似的m个图像块，并将其以列向量形式构造为相似图像块矩阵Y_i∈R^d×m，即Y_i＝(y_i,1,y_i,2,...,y_i,m)，y_i,m表示当前图像块y_i的第m个相似图像块，

基于此，低秩去噪问题能够表示为如下优化问题：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，X_i为去噪相似图像块矩阵，||·||_F为Frobenius范数，rank(X_i)为矩阵X_i的秩，λ为正则化参数，用以平衡正则化项和保真项；

二、自适应相似图像块搜索

结构相似性指数SSIM是一种综合的图像相似性评价指标，其考虑图像间亮度，对比度和结构三个不同特性，能够评价两幅图像的相似程度，给定两幅图像x和y，SSIM定义如式(2)所示：

其中，μ_x，μ_y，σ_x²，σ_y²分别为图像x，y的均值和方差，σ_xy为图像x，y的协方差，此外，C₁＝(k₁L)²，C₂＝(k₂L)²为确保分母不为零的常数，L＝255为像素最大值，k₁＝0.01，k₂＝0.03为默认常数；

自适应相似图像块搜索的主要方案为：给定当前图像块y_i和目标数据集，计算当前图像块与目标数据集各图像块的结构相似性指数，其值越大表示两个图像块更相似，进而搜索与当前图像块最相似的m个图像块，其中，相似图像块数m需根据噪声等级自适应确定，而后将各相似图像块转换为列向量，并按相似度降序自左向右依次排列以组成相似图像块矩阵Y_i；

三、建立伽马范数最小化模型

伽马范数是非凸MCP函数的矩阵扩展，相比有偏估计的核范数，其可近乎无偏地近似秩函数，设矩阵X的奇异值分解为X＝UΣV^T，其中，U＝[u₁,u₂,...,u_n]，V＝[v₁,v₂,...,v_n]，Σ＝diag(λ₁,λ₂,...,λ_n)，且λ₁≥λ₂≥...≥λ_n≥0，则伽马范数定义如下：

其中，[x]₊＝max(x,0)；

基于伽马范数可近乎无偏地近似秩函数的特性，用其替换式(1)中的低秩项，构建非凸伽马范数最小化去噪模型，表述如下：

其中，Y_i为噪声相似图像块矩阵，为去噪相似图像块矩阵，||X_i||_γ为矩阵X_i的伽马范数；

四、所提非凸模型求解

为便于表述，令X＝X_i，Y＝Y_i，则优化问题(5)的解推导如下：

经过简单矩阵运算，式(6)能够重新表示为：

固定u_i和v_i，对y(X)关于λ_i求微分得：

令则式(8)表示为：

整理得：

其中，S_λ,γ(·)为非凸软收缩算子，将代入式(7)能够得到：

令由于上式右端第一项与待优化变量X无关，则y(X)关于X的最小化问题等价于关于ξ_i的最小化问题，能够重新表示如下：

其中，当λ＜ξ_i≤γ时，能够表示为：

当ξ_i＞γ时，能够表示为：

对关于ξ_i求微分得：

由于为使关于ξ_i取最小值，u_i和v_i应分别取矩阵Y最小奇异值对应的左、右奇异向量，则ξ_i＝σ_i，

由此可得，伽马范数最小化问题(5)的最优解表示如下：

其中，Y＝U₁Σ₁V₁^T是矩阵Y的奇异值分解，Σ₁＝diag(σ₁,σ₂,...,σ_n)，Σ_λ,γ＝diag(S_λ,γ(σ₁),S_λ,γ(σ₂),...,S_λ,γ(σ_n))为对角矩阵，其对角元素为：

对各重叠图像块依次求解上述优化问题，就能够求得所有去噪相似图像块矩阵{X_i},i＝1,2,...,n，进而将各去噪图像块重构为去噪图像x，实际应用中，重复迭代以上步骤。