[发明专利]一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法

权利要求书

1.一种分数阶拱形MEMS谐振器的反振荡自适应控制方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

S1：利用Galerkin分解方法，建立具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型；

S2：设计自适应控制器；

所述步骤S1具体为：

利用Galerkin分解方法，将具有未知激励特性的分数阶拱型MEMS谐振器的动力学模型写成

其中变量定义为：

表示比率，是无量纲的时间变量，表示阻尼系数，表示拉伸参数，是电压参数，表示频率，h＝h₀/g₀表示初始上升值，是常数，x₁＝q(t)表示位移，表示速度，a表示分数阶，C表示分数微积分领域中Caputo定义的符号，M(u)表示未知激励特性，表示长度坐标，表示第一个归一化模态，表示挠度，表示无量纲量，表示时间，表示常数，u表示实际控制输入，k_c1＞0；L为长度，A为横截面积；b为宽度，C_v为粘滞阻尼系数，d为厚度，为杨氏模量，I_y为转动惯量，ρ为质量密度，Ω₀为谐波负载频率，ε_a0为真空介电常数，V_DC为直流电压，V_AC为交流电压，w₀为拱形位移，ω₀为激励频率；

在输入中存在非对称非光滑饱和非线性激励特性M(u)，其表示为

其中和η表示界限，a₁(t)和a₂(t)表示时变函数，l₁和l₂表示死区特征函数，和表示正的未知断点；

由于a₁(t)和a₂(t)是时变的，且非对称饱和非光滑的，引入光滑函数来逼近非对称非光滑饱和特征

M(u)＝S(u)+D(u) (3)

和

其中w表示设计参数，D(u)表示逼近误差且有|D(u)|＝M(u)-S(u)≤Γ，Γ表示正定未知常数；

根据中值定理，对于光滑函数S(u)，有

定义和得到S(0)＝0，则(3)被改写为

M(u)＝pu+D(u) (6)

a₁(t)和a₂(t)表示时变函数，能够反应非线性系统在受到内外部干扰时的实际情况；这种滑函数只需要激励特性的上下界；作为逼近系数w不同的值导致对M(u)的不同逼近结果；

系统参数选择为γ＝7.993，h＝0.3，μ＝0.1，a＝0.98，β＝119.9883和ω₀＝0.4706；在变步长START/TRBDF2求解器的帮助下，通过不同的分数阶和驱动振幅来揭示分数阶拱形MEMS谐振器的混沌振荡；瞬态混沌出现在像a＝1.0和0.95这样的分数阶值处；然后拱形MEMS谐振器在a＝0.9和0.75处突然地切换到非混沌状态；

定义1：分数导数中f(t)的Caputo定义表达为

其中表示伽玛函数，n和f⁽ⁿ⁾(t)表示整数和f(t)的n阶导数；

引理1：对于连续函数f₁^*(t)和下面的等式成立

其中0＜a＜1；

利用引理1和关系式得到：

其中

引理2：分数阶系统且0＜a＜1，将变换为分数阶积分器的线性连续频率分布模型为

其中表示加权函数，表示系统的真实状态；

定义2：如果函数N(η)满足以下属性

它被称为Nussbaum函数；

Nussbaum函数被认为是处理驱动特性未知符号问题的有效工具；引入以下与Nussbaum函数相关的引理，以便于控制器设计和稳定性分析；

引理3：假设V(·)和η(·)是在[0∞)且有V(τ)≥0的光滑函数，N(·)是Nussbaum函数，下面的不等式成立

其中C₀＞0，g(t)是非零常数，表示合适的常数，则V(t)，η(t)和是有界的；

假设1：参考轨迹x_d及其n阶导数是已知和有界的；同时，状态变量x₁(t)和x₂(t)能够测量；

针对具有不确定性和时变驱动特性的分数阶拱型MEMS谐振器，提出一种自适应控制方案，使得输出y＝x₁(t)微小误差地跟随参考轨迹x_d，同时与混沌行为和非对称死区相关的振荡被完全抑制；

所述步骤S2具体为：

Chebyshev多项式是以两项递推公式的形式选择

T_i+1(X)＝2XT_i(X)-T_i-1(X),T₀(X)＝1 (14)

其中X∈R和T₁(X)被定义为X，2X，2X-1或2X+1；

对于[x₁,…,x_m]^T∈R^m，Chebyshev多项式的一种加强形式被构建为

ξ(X)＝[1,T₁(x₁),…,T_n(x₁),…,T₁(x_m),…,T_n(x_m)] (15)

其中T_i(x_j),i＝1,…,n,j＝1,…,m表示Chebyshev多项式，ξ(X)表示Chebyshev多项式的基函数向量，n表示阶数；

对于紧集上任意给定的未知连续函数f(X)，基于Chebyshev神经网络的通用逼近理论充分精确地逼近它，有

其中φ(t)是光滑的权向量；

存在Chebyshev神经网络

其中ε(X)＞0是逼近误差，Ω_φ和D_X分别表示φ(t)和X的适当边界紧集；设最优参数φ^*等同于其中φ^*称为人工量；当时有

为促进快速在线计算，采取如下变换来减少Chebyshev神经网络权向量个数

其中关系式存立，是λ_i(t)的估计值，b_i是一个小的正常数；

借助杨氏不等式，导出Chebyshev神经网络的一个与权向量个数有关的数学变换；

步骤1：定义第一个中间变量

其中跟踪误差e₁(t)定义为e₁(t)＝x₁(t)-x_d(t)，σ₁表示正设计参数；如果Z₁(t)→0，那么e₁(t)→0和

选择第二个具有跟踪误差的中间变量e₂(t)＝x₂(t)-a₂(t)，其中σ₂＞0是一个设计参数，a₂(t)表示虚拟控制；在Caputo分数阶微积分的定义中推导出Z₁(t)的导数

虚拟控制选择为

其中k₁＞0代表控制增益；

基于引理1，得出下列连续频率分布模型：

考虑李雅普诺夫稳定性准则

其中

对V₁(t)求时间导数

步骤2：选择分数阶李雅普诺夫稳定性准则

其中h₂＞0，

对Z₂(t)微分得到

其中

f₂(·)是一个高阶非线性函数，其中诸如h、β、γ和b₁₁系统参数不能精准测量，并且受到内外部因素的影响建立精确的系统模型非常困难；不同的外部激励对拱形MEMS谐振器会产生有害的振荡，这种振荡在一定程度上会降低系统的性能；为解决这些问题，使用Chebyshev神经网络

实际上，由于计算复杂不能直接求出为解决这个问题，设计基于双曲正弦函数的分数阶跟踪微分器来估计虚拟控制a₂(t)的分数阶导数

其中基于双曲正弦函数的跟踪微分器状态z_2,2与相等，r₂＞0，c_i＞0,i＝1,2和d_i＞0,i＝1,2为设计常数，存在具有T是正数的关系式

把(27)和(28)代入(26)，得到

容易导出利用引理1，进一步推导出连续频率分布模型

取(25)的时间导数

其中

利用Nussbaum函数构造以下控制输入

其中k₂₁＞0和k₂₂＞0是控制增益，具有更新律

其中g₂是正数；

更新律和控制律代入(31)，求得

定理1：在假设1存立的条件下，考虑具有未知驱动特性的分阶拱形MEMS谐振器，如果所提由自适应率(33)和(34)构成的反振荡自适应控制方法(32)介入，那么所有内部信号保持有界，同时完全消除包含混沌行为和非对称死区在内的振荡；

证明：定义整个李亚普诺夫候选函数

由得

其中

定义上式简化为

对上式两边同时乘得到

定义对上式进行积分

Z₁(t)，Z₂(t)和属于紧集

闭环系统中的所有信号都是有界的；进一步证明

至此，完成定理1的证明。