[发明专利]求解对称或厄密对称正定矩阵逆矩阵方法

说明书

本发明提出的一种求解对称或厄密对称正定矩阵逆矩阵方法，旨在提供一种运算精度损失小，能够提高Cholesky分解并行性，实现高速低延时全并行结构的求解方法。本发明通过下述技术方案予以实现：在求解中，采用定点数的移位操作，将传统Right‑Looking结构的子矩阵下三角矩阵转化成等效子矩阵下三角矩阵，并进行矩阵迭代，利用并行Cholesky分解算法模块对n阶矩阵A进行n次迭代，输出下三角矩阵与对角矩阵，在FPGA并行性嵌入式平台上使用查表方式实现的除数分解函数；在迭代过程中，同时执行矩阵下三角子矩阵更新、列约化和对角元计算；利用改进(RL)并行分解算法实现Cholesky分解的全并行结构。

技术领域

本发明涉及一种适用于需要快速求解涉及对称(或厄密对称)正定矩阵的反问题的场合，具体涉及的应用领域主要包括(但不限于)阵列信号处理、测控、以及人工智能领域的求解对称或厄密对称正定矩阵逆矩阵方法。

背景技术

随着各行业对计算能力及计算速度要求的增加，密集型的矩阵运算在信号处理和图像处理中被广泛应用，并行计算成为当今计算机科学中一个重要的研究领域。并行程序开发过程本身固有的复杂性、可靠性、可移植性等问题制约着并行程序的使用与推广而且往往需要系统进行实时运算，这就需要系统具有很高的吞吐率。如何开发高性能、可移植的并行程序，降低并行程序的开发难度，提高并行程序的设计开发效率成为并行计算领域一个关键性问题。对一个问题进行并行计算时，选择一个好的并行算法是很重要的，它的性能好坏直接决定了并行程序的性能好坏。只有对并行算法性能进行有效评测，才能准确衡量一个算法的好坏。而对于算法设计者来说，通过对并行算法性能的评测还可以找出算法的缺点，进而改进以提高并行程序的性能。由于各个领域对高性能计算的要求越来越高，尤其是多媒体领域大数据量高实时性的需求，使得传统的单处理器体系结构已经很难适应大规模并行计算的需求，于是多处理器并行体系结构逐渐成为研究的热点。多种级别的并行度现在已经成为计算机设计的推动力量，而能耗和成本则是主要约束条件。现场可编程门阵列FPGA(Field－ProgrammableGateArray)的运算速度快并且可以并行运算，和其它矩阵运算的实现方式相比，FPGA有其独特的优势。

对称(或厄密对称)正定矩阵求逆是许多工程应用中不可或缺的过程之一，如最小二乘法，维纳滤波，数字波束合成DBF等方法都会涉及到对称(或厄密对称)正定矩阵求逆问题。因而，如何高速并行的完成对称(或厄密对称)矩阵求逆数值运算，尤其是在嵌入式平台(DPS，FPGA，ASIC)、高性能并行计算平台(GPUs)上实现该运算，一直是许多算法工程师的研究重点之一。

矩阵运算方法又叫Cholesky分解。它是把一个对称正定的矩阵表示成一个下三角矩阵L和其转置的乘积的分解。它要求矩阵的所有特征值必须大于零，故分解的下三角矩阵的对角元也是大于零的。Cholesky分解法又叫平方根法，是求解对称正定线性方程组最常用的方法之一，确切地说，Cholesky分解算法是对称(或厄密对称)正定矩阵求逆的前置过程。相对与其它矩阵求逆的直接算法，Cholesky分解具有最低的运算量与最佳的并行性，其基本原理是将对称(或厄密对称)正定矩阵分解成一个下三角矩阵与其厄密转置的积(或者分解成)，而对应的求逆(或求反问题的解)将转化为三角矩阵解方程问题。根据线性代数知识可知，对称(或厄密对称)正定矩阵A必有Cholesky分解，即：

若A＝A^H且det(A)＞0,存在唯一的下三角矩阵L,得A＝LL^H成立。这里将此分解形式记作第一类Cholesky分解。此外，将矩阵L的列向量以其对应的对角元归一化，同时将L与其共轭转置的归一化的系数合并，就可以得到带对角元的第二类Cholesky分解形式，即A＝LDL^H。在工程实现中，因为第二种Cholesky分解形式避免了正实数的平方根运算，所以此形式即减少了运算精度损失，又降低了工程实现难度。根据Cholesky分解的原理，可以知道，下三角矩阵L中的元素l_r,c，对角矩阵D中元素D_k,_k与矩阵A元素A_r,c满足以下关系式：