[发明专利]一种适用于二维流体模拟的三阶高精度对流插值算法

说明书

本发明提供一种适用于二维流体模拟的三阶高精度对流插值算法。基于约束插值剖面法，在使用半拉格朗日法求解计算二维流体运动控制方程的对流项时，针对回退点处物理量的计算发明了一种高精度插值方法，提升了对流精度。此外，为减少内存消耗，只存储物理场的值及其一阶导数作为计算变量，高阶导数则在保证计算精度不受损的前提下基于推导的泰勒展开式近似计算。本发明能够在时间和内存消耗较少的前提下保持三阶高精度，且具有紧模板特性。对比现有方法，该方法在视觉质量、速度、内存消耗等方面都有明显的改进，能够有效提升流体模拟的对流精度和速度。除了流体模拟之外，本发明还可用于要求高插值精度的其他领域，例如图像/视频超分辨率等。

技术领域

本发明涉及计算机动画技术领域，是一种适用于二维流体模拟的三阶高精度对流插值算法，能有效降低对流数值耗散，减少内存开销，增强流体动画的真实感。

背景技术

在计算机图形学和虚拟现实领域，基于物理的计算机动画技术始终是科研工作者的研究重点，而基于物理的流体动态模拟技术则是其中的一个热点问题。流体模拟技术在多个领域也被广泛应用，工程领域如航天、航空、航海等的发展也离不开流体技术的支撑。

在流体模拟中，数值耗散增加了流体的粘度，使其比预期的更粘稠，并涂抹细节以致视觉质量受损。导致数值耗散的因素中，对流的精度对流体模拟的视觉质量有很大的影响，相关学者为开发精确的对流求解器进行了各种尝试。其中，高阶插值格式广泛应用于计算流体力学(CFD)领域，包括本质非振荡(ENO)、加权ENO(WENO)等，然而由于计算量太大不适用于图形学领域，而且这些插值算法在宽模板上进行，不适用于在非均匀网格上进行仿真。线性方法(Linear)、前后向误差补偿矫正方法(BFECC)、MacCormack法等对流方法广泛用于图形学中，但计算精度有限，最高只可达二阶精度。

约束插值剖面(CIP)方法只在单个网格单元构造插值函数，具备紧模板特性，而且具有三阶精度，但扩展CIP求解高维对流方程是一项困难的任务，需要大量的计算时间和内存消耗。另外，现有技术中基于CIP的多维对流求解器，如单调CIP(MCIP)、非分裂型CIP(USCIP)等，只能部分地解决这些问题，有些甚至以损失数值精度或造成不稳定为代价。如何发展一种高效、高精度的高维CIP方案对于提升对流方法的计算效率和精度颇有意义，但仍然是一个具有挑战性的问题。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种适用于二维流体模拟的三阶高精度对流插值算法：二维基于泰勒展开的约束插值剖面法(2d Taylor Expansion based ConstrainedInterpolation Profile，2dTECIP)。现有基于CIP的方法应用到高维时，通常存在计算开销高、内存占用大、精度降低或者不稳定等问题。本发明方法只将物理量及其一阶导数作为未知变量，高阶导数并不作为变量保存，可以减少大量内存开销。其次，本发明使用局部泰勒展开按需计算高阶导数，计算速度较快且保持三阶精度，能够更有效保持丰富的流体细节。最后，方法并未破坏原CIP方法的紧模板特性，除规则网格外同样适用于非均匀网格。

本发明的技术方案为：一种适用于二维流体模拟的三阶高精度对流插值算法，本发明主要用于提高求解流体运动控制方程中对流项的精度。通过利用半拉格朗日法求解流体运动控制方程的对流项时，针对回退点处物理量的计算采用了高精度插值，降低了数值耗散，同时为减少内存消耗，只存储物理场的值及其一阶导数作为计算变量。

对于二维对流方程，设φ为对流物理量，则在每个网格点i上存储3个变量，即该物理量及其一阶偏导：φ_i、回退点上相应值通过高精度插值求得。包括以下步骤：

S1)、针对回退点P所处的二维空间网格单元，设网格单元边长为h，四个网格点分别为A、B、C、D，网格单元的所有边均与二维维空间的坐标轴平行，边AB和边CD平行于X轴且二者沿Y轴正向的间距为h，边AD和边BC平行于Y轴且二者沿X轴正向的间距为h。设点E和G分别为点P在边AB和AD上的投影点；