[发明专利]一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法

权利要求书

1.一种基于Lévy过程的航空发动机剩余寿命预测方法，其特征在于，包括步骤如下：

a、结合伽马过程和复合泊松过程构建一种基于Lévy从属过程的退化模型；

b、通过使用逆傅里叶变换，推导出可靠性函数、寿命累积分布函数和寿命概率密度函数；

c、列出当跳跃大小满足指数分布、伽马分布以及逆高斯分布时的可靠性函数、寿命累积分布函数与寿命概率密度函数的具体表达式，通过分析航空发动机的退化跳跃过程可知，航空发动机的退化跳跃大小满足指数分布；

d、利用发动机性能监测数据与极大似然估计算法估计基于Lévy从属过程退化模型的参数，预测航空发动机的剩余寿命；

所述步骤a具体包括：若一个Lévy过程X(t)是非减少和非负的，则称其为一个从属过程；Lévy从属过程取值范围为[0，∞)，满足如下条件：

式中，X(t)为t时刻的性能退化量，t、s为不同的性能监测时刻；

对于航空发动机的性能退化，利用Lévy从属过程来考虑渐进退化与零星跳跃过程，构建如下式(2)所示的Lévy从属过程：

X(t)＝G(t)+C(t) (2)

式中，G(t)表示航空发动机渐进退化的伽马过程，C(t)表示航空发动机具有零星跳跃的复合泊松过程；

所述步骤b具体包括：作为构建本文Lévy从属过程的一种，非平稳伽马过程G(t)定义如下：

式中，G(0)为G(t)在0时刻的值；P为概率；a(t)为伽马过程的形状参数；β为伽马过程的尺度参数；伽马过程形状参数与时间之间的关系是线性的，即形状参数a(t)＝at,a＞0，根据伽马过程G(t)的定义可知，时间上均匀的伽马过程的概率密度函数为：

式中，a为伽马过程的形状参数；Γ(at)为伽马函数；

根据特征函数的定义，求得伽马过程的特征函数如下：

同时，求得伽马过程G(t)的特征指数与Lévy测度：

v_G(t)(dx)＝ax^-1e^-βxdx (7)

时间上均匀的伽玛过程是一个Lévy从属过程，样本路径为单调递增的，伽马过程任意时刻性能退化量的均值为E(G(t))＝at/β；

作为另一种Lévy从属过程，复合泊松过程C(t)表示如下：

其中，N(t)为符合参数为λ的泊松过程，表示直到时间t的冲击次数，J_i表示跳跃大小独立并且跳跃大小分布相同的随机变量；根据特征函数的定义，复合泊松过程具有如下的特征函数：

式中，λ满足复合泊松过程的跳跃强度，其范围为0＜λ＜∞；u_J(dx)是J_i的累积分布函数；i为虚数；

根据复合泊松过程的特征函数，求得复合泊松过程的特征指数与Lévy测度：

η_C(t)(u)＝∫_R(e^iux-1)λu_J(x) (10)

v_C(t)(dx)＝λu_J(dx) (11)

式中，u_J(dx)是J_i的累积分布函数，当J_i满足不同类型的分布时，求得复合泊松过程的Lévy测度；

假设退化开始时X(t)＝0，当航空发动机的退化X(t)超过预定的故障阈值时，即产生失效，令故障阈值为K；

航空发动机的寿命为首次超过阈值的时间，表示如下：

T＝inf{t:X(t)＞K} (12)

航空发动机的寿命分布函数表示如下：

F(t)＝P(T＜t) (13)

发动机的可靠性R(t)定义为在任何时间t内累积退化不超过阈值K的概率，定义表达如下：

R(t)＝P{X(t)≤K}＝P(T≥t)＝1-F(t) (14)

由于伽马过程和复合泊松过程相互独立，根据式(14)可靠性函数的定义，将式(2)和(8)代入到式(14)中，通过传统卷积方法得到从属过程的可靠性函数为：

若G(t)和J_i的分布函数相同，即J_i也满足伽马分布，且G(t)和J_i的尺度参数大小相等，则通过利用随机变量的数学特性计算出R(t)、F(t)与f(x)；若分布函数不同，则R(t)、F(t)与f(x)通过从属过程的Lévy测度和特征函数间接推导出来；

从属过程X(t)的特征函数为：

式中，u_J'为J_i的概率密度函数，此时，X(t)的Lévy测度表示为：

若概率密度函数f(x)和特征函数φ_X(u)在勒贝格积分意义上是可积的，并且假设存在随机变量平均值的情况下，以下等式成立：

对于受渐进退化和跳跃退化综合影响的航空发动机，令故障失效阈值为K，将式(16)代入到式(18)中，得Lévy从属过程X(t)的可靠性函数为：

R(t)具体表达式根据跳跃大小J_i的不同分布类型确定的；根据可靠性函数与累积分布函数的关系，得航空发动机的寿命累积分布函数为：

航空发动机的寿命概率密度函数为：

所述步骤c具体包括：

(1)指数分布

当跳跃尺寸J_i满足参数为θ的指数分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

u_J'(x；θ)＝θe^-θx,x＞0 (22)

将式(22)代入到式(16)中，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(2)伽马分布

当跳跃大小J_i满足伽马分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

式中，a^*是形状参数，β^*是尺度参数；

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：

(3)逆高斯分布

当跳跃大小J_i满足均值为η、形状参数为υ，且η＞0,υ＞0的逆高斯分布时，跳跃大小的概率密度函数表示为：

在这种情况下，复合泊松过程的特征函数具有以下形式：

因此，根据式(19)、(20)、(21)得航空发动机运行的可靠性函数与寿命概率密度函数如下：