[发明专利]一种非线性系统冲激响应的峰值上限估算方法

权利要求书

1.一种非线性系统冲激响应的峰值上限估算方法，其特征在于，包括假定对非线性系统冲激响应的峰值上限估算值为c∈(0，∞)，建立常数c∈(0，∞)可确立为非线性系统冲激响应峰值上限的条件，该条件可通过以下步骤获得：

S101，建立描述系统状态轨迹的李雅普诺夫多项式水平集；

S102，对李雅普诺夫函数进行再投射，并对状态位置进行评估；

S103，利用二分搜索和凸优化方法得到有效估算值；

S104，采用平衡点转移法应用于系统平衡状态值非零时的情形；S104具体包括：当系统有其它平衡点x_e使时，可将系统状态方程从平衡点x_e移位到零平衡点情形后，估算以零为平衡点的非线性系统冲激响应峰值上限；

假定对非线性系统冲激响应的峰值上限估算值为c∈(0，∞)，包括如下步骤：

S201，设置自然数(包括零)集为N和实数集为R，欧几里德范数和无穷大范数分别表示为||·||₂和||·||_∞，A′为矩阵A的转置，A＞0(A≥0)表示埃尔米特正定(半正定)，∑为多项式平方和集；

S202，用状态方程描述需要确定冲激响应峰值的非线性时不变系统：

其中，t∈R表示时间，x(t)∈Rⁿ表示系统状态，u(t)∈R表示输入，y(t)∈R^p表示系统输出，表示合适大小的系统状态非线性函数矩阵，简记作

S203，定义系统的冲激响应y_IR(t)，即所述非线性时不变系统针对冲激函数输入的零状态响应，为系统初始条件为x(0^-)＝0和输入为u(t)＝δ(t)时的系统输出y(t)，其中，δ(t)是狄拉克单位冲激函数；

S204，在零初始条件x(0^-)＝0下给系统输入冲激函数，等效于将初始状态值设置为输入u(t)＝0时对应的系统输出：确定常数使得相对于系统的所有输入通道都有单通道冲激响应的无穷大范数小于常数c：

确立常数c∈(0，∞)为系统冲激响应峰值的上限；

S101包括找到一个次数不大于2d，d∈N的李雅普诺夫函数v(x)：Rⁿ→R，由李雅普诺夫函数的定义可知，v(x)是系统状态x的一个多项式，对时间的导数为负，使得：

表明系统的状态轨迹始发于多项式水平集中，因条件f(x)∈∑，表明由出发的系统状态轨迹位于水平集

S102包括对李雅普诺夫函数系v(x)进行再投射用以评估水平集是否位于集合中，令

其中，s_k(x)为多项式系数，寻找到一个合适的标量，ε＞0，ε∈R，使得经李雅普诺夫函数v(x)再投射得到的多项式h_k(x)属于多项式平方和集，即h_k(x)∈∑；

多项式h_k(x)的系数与多项式v(x)的系数成线性关系，h_k(x)属于多项式平方和集的条件若成立，则系统状态轨迹位于集合中；

S103包括李雅普诺夫函数v(x)可表示为下述矩阵形式：v(x)＝b(x)′(V+L(α))b(x)，其中，V是对称矩阵，α是向量变量，b(x)是由一系列次数不大于d的多项式基所组成的向量，判断一个多项式是否属于平方和集，等价于判断该多项式对应的线性矩阵不等式V+L(α)≥0是否成立。