[发明专利]一种倒立摆自适应迭代学习反演控制方法

权利要求书

1.一种倒立摆自适应迭代学习反演控制方法，其特征在于，所述控制方法包括以下步骤：

步骤1，建立倒立摆的动态模型，初始化系统状态、采样时间以及控制参数，过程如下：

1.1倒立摆的动态模型表达形式为：

其中x_1,k，x_2,k分别是角度位置和角速度，k是迭代次数；分别是角度位置和角速度的一阶导数；g是重力加速度；m_c，m是分别是小车和倒立摆的质量；l是倒立摆长度的一半；u_k表示控制输入，sat(u_k)表示受饱和限制的控制输入，其表达形式为：

其中u_m是u_k的最大值，|u_k|表示u_k的绝对值，sgn(u_k)表示u_k的符号函数；

1.2定义未知函数f(x_k)和b(x_k)，将式(1)写成以下形式：

其中是未知的光滑函数；x_k＝[x_1,k,x_2,k]^T；从b(x_k)的表达式中得到b(x_k)＞0；

步骤2，逼近和估计输入饱和项，其过程如下：

采用以下的双曲正切函数逼近输入饱和函数：

其中tanh(·)表示双曲正切函数，e^(·)表示以自然常数e为底的指数函数；

由此得

sat(u_k)＝g(u_k)+d(u_k) (5)

其中d(u_k)是一个有界函数，满足

|d(u_k)|＝|sat(u_k)-g(u_k)|≤u_m(1-tanh(1))＝D (6)

其中D是一个未知正数，|d(u_k)|表示d(u_k)的绝对值；

通过微分中值定理计算，得出

其中u_ξ＝ξu_k+(1-ξ)u₀，u₀∈[0,u_k]；0＜ξ＜1是一个常数；是u_k＝u_ξ时对g(u_k)的偏导，取u₀＝0，g(u₀)＝0；则公式(7)写为：

将公式(8)代入到公式(5)中，得

步骤3，计算系统跟踪误差，其过程如下：

定义系统跟踪误差z_1,k如下：

z_1,k＝x_1,k-x_d (10)

其中x_d是给定的光滑有界的参考轨迹；

对公式(10)求导得到：

其中是系统跟踪误差的一阶导数，是参考轨迹的一阶导数；

步骤4，定义误差变量，设计虚拟控制器，其过程如下：

4.1定义误差变量z_2,k为：

z_2,k＝x_2,k-α_1,k (12)

其中，α_1,k是设计控制器过程中的虚拟控制器；系统初始条件为：z_1,k(0)＝0，z_2,k(0)＝0；

对式(12)进行求导，得到：

其中是误差变量的一阶导数，是设计控制器过程中虚拟控制器的一阶导数；

将式(3)，式(9)代入式(11)和式(13)中，得到：

由此，计算：

其中

由于0＜g_uξ≤1，则必定存在一个正的常数g_N使得成立；然后，得出是有界的，并且

其中表示的绝对值，ρ_D是一个大于零的常数；

4.2为逼近函数设计以下神经网络：

定义W^*为神经网络理想权重矩阵，则写成以下形式：

其中W^*T＝W^*，是神经网络的输入向量，是参考轨迹的二次导数，ε_k是神经网络的逼近误差且满足|ε_k|≤σ_N，|ε_k|表示ε_k的绝对值，σ_N是|ε_k|的上界，是一个正的常数，Φ(X_k)＝[φ₁(X_k),φ₂(X_k),…,φ_m(X_k)]^T是神经网络的基函数，m为神经元的个数，φ_i(X_k)的形式如下所示：

其中ι_i和υ_i分别是高斯函数的中心和宽度，i＝1,…,m，其中exp(·)是指数函数；

4.3设计神经网络权值和估计误差更新律：

其中γ₁，γ₂，β₁，β₂都是合适的参数，分别表示在第k和k-1次迭代时对W^*和σ_N的估计，是和的一阶导数，δ是一个正的常数；给定

4.4设计虚拟控制器和实际控制器，如下所示：

其中c₁，c₂是正常数，

4.5把式(18)，式(22)和式(23)代入到式(15)和式(16)中，得：

其中

步骤5，构造李雅普诺夫函数V_k(t)与类李雅普诺夫函数E_k(t)，分析系统性能，其过程如下所示：

其中

对V_k(t)求导，并将式(24)，(25)代入，得到：

其中和分别是和的一阶导数；

将(17)代入(28)，得到：

其中|z_2,k|表示z_2,k的绝对值；

然后，写为：

其中

将(20)，(21)代入(30)，得：

采用双曲正切函数的以下性质：

0≤|z_2,k|-z_2,ktanh(z_2,k/δ)≤0.2785δ； (32)

将式(32)代入(31)，得到：

对式(27)求导，得到：

在初始迭代k＝0时，和则由此得到：

对式(35)两侧同时进行积分运算，得到：

可以看出在[0,T]中是有界的；在初始条件的选择下，V₀(0)也是有界的；得出E₀(t)是有界的，即

E_k(t)在第k次迭代的差分形式为：

其中V_k-1(t)和E_k-1(t)分别是第k-1次的李雅普诺夫函数和类李雅普诺夫函数；

将式(33)代入(38)中，得到

结合得到：

其中T表示倒立摆系统的迭代周期；c_m＝min{c₁,c₂}表示取c₁，c₂的最小值；表示一个正的常数；z_r,k，r＝1,2表示系统跟踪误差和误差变量的总称；

对ΔE_k(T)有限迭代次数的累加得到：

其中E_k(T)表示第k次迭代，t＝T时的类李雅普诺夫函数；E₀(T)表示k＝0，t＝T时的类李雅普诺夫函数；

将(40)代入到(41)，写成：

从(42)得出：

其中表示z_r,k，r＝1,2的二范数形式；

则判定对于任意给定常数都存在一个正的有限迭代次数k₀，对于k＞k₀，使得成立；也就是说，系统跟踪误差z_1,k在二范数的意义上在有限迭代次数内收敛到零附近的领域内。