[发明专利]一种基于反步法的分布式多拉格朗日系统跟踪控制策略

权利要求书

1.一种基于反步法的分布式多拉格朗日系统跟踪控制策略，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：构造多拉格朗日系统并进行编号；

步骤2：定义多拉格朗日系统的系统误差函数并以此作为系统变量设计新的系统模型；

步骤3：验证新系统中当系统误差函数到达零点时的系统状态；

步骤4：采用反步法设计控制律使多拉格朗日系统实现网络同步跟踪并验证；

步骤5：用matlab对所设计的控制律进行仿真验证；

所述步骤1网络中的拉格朗日系统按任意次序编号；并给出其拓扑结构，包含领导者与跟随者之间的信息交流；

具体过程如下：

考虑一个含有n个拉格朗日系统的网络，其中领导者用0标记，跟随者用1,2,...,n进行标记；用G表示n个跟随者之间的通讯拓扑结构，n个跟随者和领导者之间用表示；令A＝[a_ij]表示跟随者之间的图G的邻接矩阵，B＝diag{b₁,b₂,...,b_n}表示的邻接矩阵；如果第i个跟随者能得到领导者的信息则b_i＝1，i＝1,2,...,n，反之为0；

在现实生活中，考虑到存在输入扰动，该情况下，式(1)中的拉格朗日系统的数学模型就变为

其中ρ_i∈R^m，表示输入扰动，且有界，即扰动ρ_i满足||ρ_i||＜ζ＜∞；领导者的轨迹即系统期望轨迹为

定义将式(2)改写成矩阵形式为：

所述步骤2中，定义两个误差，相对误差和绝对误差；第i个拉格朗体系统的绝对误差定义为e_i0＝q_i-q₀，绝对误差是第i个拉格朗日系统的状态与领导者状态之间的差值；e_i0是第i个拉格朗日系统与领导者的广义坐标向量之差，即位置误差；是第i个拉格朗日系统与领导者的广义坐标向量微分之差，即速度误差；相对误差指的是第i个拉格朗日系统与其他跟随者之间的状态误差，第i个与第j个拉格朗日系统之间的相对误差定义为e_ij＝q_i-q_j，其中e_ij是第i个跟随者与第j个跟随者之间的广义坐标向量差值，第i个跟随者与第j个跟随者之间的广义坐标向量微分的差值，并以此为基础设计新的系统模型；将上述两者结合，定义新的系统误差变量：

用向量表示误差变量：ε₁＝[e₁,e₂,...,e_n]^T，将ε₁，ε₂作为系统变量，设计新的系统，则式(2)形式变为

其中符号定义为：

M_N＝diag{M₁,M₂,...,M_n}∈R^mn×mn，

C_N＝diag{C₁,C₂,...,C_n}∈R^mn×mn,

所述步骤3中，当上述定义的系统相对误差和绝对误差达到0点的时候，整个系统是否能实现跟踪控制是我们所需要验证的；

这里引入一个后文用到的引理，如下：

引理1：假设对于矩阵a_i＝R^m；L_A∈R^mn×mn满足对Laplacian矩阵的定义，则下面的结论是等价的：

(1)L_A的单特征根为0，与之对应的特征向量为1_n，其他特征向量都有正实部；

(2)意味着a₁＝...＝a_n；

(3)给定系统系统以指数方式达到一致性；特别指出，对所有i＝1,2，...,n，当t→∞时，所有的其中p＝[p₁,...,p_n]^T是L_A的特征值相关的非负的左特征向量满足

(4)矩阵L_A的秩为n-1；

考虑一个具有一个领导者的多拉格朗日系统，如式(2)所示，若满足ε₁＝0，ε₂＝0，则有

Q_i＝[q₁,q₂,...,q_n]^T＝1_nq₀ (10)

证明：因为将其写成向量的形式可以看出，当ε₁＝0时，可以得到

因为图的拉普拉斯矩阵满足L1_n＝0,则在等式(13)右边加入L1_n得到

取则有：

则由引理1可知因为第一行元素都为0，则可知Rank(K_n×(n+1))＝n，K_n×(n+1)有n+1列，且行和为0，则

可以得出Rank(L+B)＝Rank(K_n×(n+1))＝n,则矩阵(L+B)是可逆的；因此，由式(13)可以得到[q₁,...,q_n]^T＝1_nq₀，同理等式(11)成立；

证明了当定义的系统误差ε₁＝0，ε₂＝0时，跟随者的位置和速度可以跟踪领导者的位置和速度信息，也就是实现系统的跟踪控制；

所述步骤4中，采用反步法设计系统控制率，使得系统误差能够满足上述条件，其主要优点是能够通过反向设计使Lyapunov函数和控制律的设计过程系统化、结构化，避免了滑模控制中产生的抖振现象；

针对系统(10)，采用控制律为

写成矩阵形式为：

其中k₁，k₂＞0，系统可以实现跟踪控制；

证明：第一步，对于子系统把ε₂看作虚拟输入，设计控制律；

第一个Lyapunov函数被设为它的导数为若要ε₁收敛到0，则要求V₁的导数小于零；设其中k₁为正数，则ε₂的期望值ε_2d＝-k₁ε₁；

第二步，设第二个Lyapunov函数为对其求导

将式(9)及控制律(17)带入上式可以得到：

其中k₁，k₂＞0，因此满足李雅普诺夫稳定的条件，能实现系统的跟踪控制；

所述步骤5中，对动力学模型为拉格朗日系统的二连杆机械臂系统进行仿真，验证所涉及的控制律在多拉格朗日系跟踪控制过程中的有效性和准确性；

考虑包含5个拉格朗日系统的网络；用0表示领导者，2-4表示跟随者；针对自由度为2的机械臂系统，对机械臂的位置和速度信息进行验证。