[发明专利]一种乘法群上的最优带符号二进制快速计算方法及模幂运算

说明书

本发明公开了一种乘法群上的最优带符号二进制快速计算方法包括：将乘法群M^k中k转成原始二进制数值；利用最优带符号二进制快速计算方法，找到k的最优带符号二进制表达式，将最优带符号二进制表达式带入群中所定义的乘法运算得到结果；以及一种最优的带符号二进制模幂快速计算方法,能够根据目标系统的三个基本运算模乘运算MUL、模平方运算SQU和模逆运算INV的运算耗费，对幂指数k进行优化，在O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度下，从k的所有(3/2)ⁿ个带符号的二进制表达式中，输出计算量最小的那一个带符号二进制表达式k’，通过计算模幂运算M^k’mod N来得到运算结果。

技术领域

本发明涉及二进制算法领域，尤其是一种乘法群上的最优带符号二进制快速计算方法及模幂运算。

背景技术

在以模幂运算为代表的乘法群上，由于大整数转换的原始二进制还是比较大，造成运算开销大，运算速度慢的问题，需要优化。

在数学中，群表示一个拥有满足封闭性、结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构；乘法群是定义在集合和集合上的乘法运算所构成的一种代数结构，群中元素假设为M，那么M的k次乘法M*M*...*M(k个M相乘)可以记为M^k。

模幂运算是计算领域，特别是密码学领域里的一个经典问题，M^kmod N(M,k和N通常都是超过2¹⁰²⁴的大数)，这个问题的优化，在三篇文献A Signed Binary MultiplicationTechnique、Binary Arithmetic、Optimal Left-to-Right Binary Signed-DigitRecoding中，经典的模幂快速运算所使用的算法如下：

以上算法1.1和1.2是二进制快速模幂算法，算法1.3和1.4是带符号二进制(BSD)快速算法，上面的三篇文献中还提出了NAF算法，通过引入-1(为了方便，以下记为)，能够降低幂指数的非零值的个数，从而降低计算开销，达到快速计算的目的。在幂指数k，记为(k_n,k_n-1,...,k₀)_BSD,and k_i∈{-1,0,1}，文献On binary signed digitrepresentations of integers中给出了K的所有带符号二进制表达式的总数量为(3/2)ⁿ个。

虽然NAF算法加快了模幂算法的计算，但是并不适用于所有的模幂算法，例如：其中是NAF表达式，其中没有任意两个非零的二进制位相邻。假如我们用MUL来表示大数乘法运算(C*S),用SQU来表示大数的平方运算(C*C)，以及用INV来表示模逆运算(C^-1)，以上三个运算都是模N的运算；这时就可以得到：

从以上可以看出，采用NAF算法的NAF表达式(1-1)并不能够得到最优的计算结果，最优的计算结果是(1-3)。

发明内容

本发明的发明目的在于：针对上述存在的问题，提供一种乘法群上的最优带符号二进制快速计算方法，以及最优带符号二进制模幂快速计算方法，其中模幂运算是乘法群上的一种运算；最优带符号二进制模幂快速计算方法，可以根据目标系统的三种基本运算MUL、SQU和INV，在幂指数k的所有带符号的二进制表示中，本发明能在O(n)时间复杂度和O(1)空间复杂度内，找到最优的，计算最快速的带符号二进制表达式。

本发明采用的技术方案如下：