[发明专利]一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法

权利要求书

1.一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法，应用在图像信号处理中，其特征是：该方法包括如下步骤：

步骤1、基于压缩感知测量矩阵采样和恢复信号的基本原理，测量矩阵必须满足约束等距条件(RIP性质)，保证测量矩阵和稀疏基之间的非相关性，因为这样测量矩阵的采样过程才能保证采样到那些不能够被已知的稀疏矩阵所表示的新信息；

步骤2、将这种测量矩阵和稀疏基之间的非相关性等价为测量矩阵和稀疏基构成的Gramm矩阵逼近单位矩阵的问题，而Gramm矩阵逼近单位矩阵的过程通过增加正则项转换成目标函数求解最优值的过程；

步骤3、通过Gramm矩阵等于单位矩阵求解伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，使测量矩阵初始值落在全局最优解的附近，然后通过梯度投影的方式，不断迭代求解，使目标函数最小化；

步骤4、通过梯度投影的方式求解Gramm矩阵逼近单位矩阵问题获得优化后的测量矩阵，并把优化后的测量矩阵和传统常用的测量矩阵进行压缩感知信号重建的对比实验，从而验证测量矩阵优化方式的有效性；

将测量矩阵和稀疏基之间的非相关条件等价为Gramma矩阵的单位矩阵逼近问题，Gramma矩阵为：

Gram:＝Θ^HΘ,Θ＝ΦΨ， (6)

其中，Gram:为Gramma矩阵，Φ为测量矩阵，Ψ为信号稀疏基；

Gram矩阵越逼近单位矩阵，Φ和Ψ相关性越低，构建更加优化的测量矩阵Φ等价于求解以下优化问题：

其中I为n×n的单位矩阵，首先产生一个随机测量矩阵，然后利用信号稀疏基Ψ的信息，根据(7)的优化条件训练学习出一个优化后的测量矩阵，相比于传统的随机测量矩阵，优化后的测量矩阵与稀疏基之间具有更低的相干性；

根据对测量矩阵性能理论基础的分析，该方法优化测量矩阵的具体实现方式如下：

为了求解(7)式，首先明确目标函数，因此对(7)进一步变形为：

其中，τ为权重参数，则(8)式则为需要最优化求解的目标函数F(Φ)；

使用梯度投影的方式寻找目标函数的最小值，目标函数的梯度通过对(8)式中的Φ求导获得，如(9)式所示，

其中，在每次迭代过程中，需要不断去更新Φ，即在第k次到第k+1次的迭代过程中，更新Φ^(k)为Φ^(k+1)，首先选择一个为正值的标量参数α^(k)0，定义以下公式：

其中，为F(Φ)在Φ^(k)处第k次迭代的梯度，Φ^(k)为测量矩阵Φ在第k次迭代中得到的测量矩阵，()₊为取正运算，(x)₊＝max{0,x}；

定义第二个标量参数λ^(k)∈[0,1]，从而得到Φ^(k)的更新Φ^(k+1)，

Φ^(k+1)＝Φ^(k)+λ^(k)(w^(k)-Φ^(k)) (11)

λ^(k)的引入降低了在迭代过程中某些时候目标函数F(Φ^(k))值增加的可能性，增加了算法求解全局最优解的效率；

在算法的迭代过程中，最开始需要对Φ进行初始化，首先根据(7)式假设Θ^HΘ＝I，通过求解Θ^H的伪逆对Θ进行初始化，得到Θ的初始化Θ⁽⁰⁾为：

Θ⁽⁰⁾＝(Θ^H)^⊥＝(ΘΘ^H)^-1Θ＝ΦΨ (12)

由此得到Φ初始化Φ⁽⁰⁾为：

Φ⁽⁰⁾＝(ΦΨ(ΦΨ)^H)^-1ΦΨΨ^-1 (13)

下面为具体步骤：

1)初始化：迭代次数k，k＝0；通过(13)式对Φ进行初始化；参数α的最小和最大值为α_min和α_max,α⁽⁰⁾∈[α_min,α_max]；

2)计算δ^(k)：

δ^(k)＝w^(k)-Φ^(k) (14)

3)在λ^(k)∈[0,1]区间上寻找参数λ^(k)：

其中当(δ^(k))^TBδ^(k)＝0，λ^(k)＝1；

4)回溯线性搜索使F(Φ^(k+1))最小化：

Φ^(k+1)＝Φ^(k)+λ^(k)δ^(k)

5)更新α：

γ^(k)＝(δ^(k))^TBδ^(k) (16)

如果γ^(k)＝0,α^(k+1)＝α_max,否则

6)当算法表现收敛并且满足终止条件：

迭代停止，Φ^(k+1)为优化后的测量矩阵；如果不满足终止条件，则k＝k+1，返回步骤2)直到满足终止条件；

取得一系列参数的经验值，tolA设置为0.01，τ设置为0.35，α_min为1×10^-3，α_max为1×10³；

由于测量矩阵Φ中的元素有正数和/或负数，在算法的实际求解过程中，为了便于求解，将Φ分为正数部分u和负数部分v，则Φ表示为：

Φ＝U-V,u_ij≥0,v_ij≥0 (19)

u_ij,v_ij和φ_ij分别为U，V和Φ矩阵中的元素，其中u_ij＝(φ_ij)₊，v_ij＝(-φ_ij)₊，i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,n，(φ_ij)₊为取正运算，(φ_ij)₊＝max{0,φ_ij}；

获得Φ的优化求解值之后，需要对Φ的每一列进行正则化得到最终优化后的测量矩阵Φ值，如下所示，