[发明专利]一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法

说明书

本发明公开了一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法。在压缩感知信号重建中，为了用尽可能低的采样率重建出尽可能高精度的原始信号，这就要求测量矩阵满足RIP条件以及测量矩阵和信号稀疏基之间具有尽可能低的相关性。基于相关性理论，本发明提出一种全新的测量矩阵优化算法，将测量矩阵和稀疏基之间的非相关条件等价为Gramm矩阵逼近单位矩阵的问题。首先通过对Gramm矩阵等效单位矩阵求伪逆来对测量矩阵进行初始化，再通过梯度投影的方式使Gramm矩阵去逼近单位矩阵，从而训练学习出一种全新的测量矩阵。与传统常用的测量矩阵相比，新型测量矩阵与稀疏基之间具有更低的相关性，信号重建的精度和质量都得到了有效的提升。

技术领域

本发明涉及一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法，特点通过梯度投影的方式使测量矩阵的Gramm矩阵逼近单位矩阵，从而获得一种优化后的测量矩阵，优化后的测量矩阵有效地提高了不同采样率情况下的信号的重建质量和精度，应用于信号的采集与恢复、图像处理和计算机视觉等，属于信号与信息处理中的信号恢复重建领域。

背景技术

压缩传感(Compressed Sensing,CS)理论在2006年被Donoho、Candès等人提出，压缩感知核心思想是在原始信号是稀疏的或者能够进行稀疏表示的前提下，将信号的压缩与采样合并进行，通过测量矩阵用较少的采样次数直接到信号的线性投影值。压缩感知采样并不经过Nyquist采样的中间阶段实现信号的将维压缩，然后根据相应重构算法由测量值直接恢复重建出原始信号，节约了传输和存储成本，降低了计算复杂度。正是由于压缩感知理论对信号低于Nyquist定理的采样，以及信号的高压缩性和可恢复性，让压缩感知在信号处理领域有着广泛的应用。

在压缩感知的采样过程中，首先定义一个原始信号x，x∈Cⁿ，x乘以大小为m×n的测量矩阵Φ得到测量信号y，y∈C^m，mn。于是就有以下信号测量模型：

y＝Φx+e, (1)

e为方差为σ²的高斯白噪声，y是通过测量矩阵获得的原始信号x的非完备(undercomplete)线性测量。

原始信号的恢复过程相当于信号测量的逆过程。根据信号测量值y恢复出原始信号x，由于y的维数远远小于信号x的维数，必须解一个欠定方程。由于求解欠定方程通常是非常困难的，原始信号x必须是稀疏的或者能够进行稀疏表示。离散信号的稀疏性通常用信号的L0范数加以表示，||x||₀表示x中非零元素的个数。原始信号x的零范数可以作为(1)式的正则项，因此，我们可以获得以下表达。

其中，ε是非负的正常数，为误差上界。表示重构信号和真实信号的逼近误差。

如果原始信号x是非稀疏的，必须对信号x进行稀疏表示。我们使用稀疏变换正交基或者冗余字典Ψ对x进行稀疏表示with the elements in Cⁿ，Ψ＝[ψ₁,ψ₂,ψ₃,…,ψ_n]。从而有：

其中，S＝[s₁,s₂,s₃,…,s_n]^T，为信号x在稀疏基Ψ上的稀疏表示系数。如果S中大部分系数为零或者接近于零，则说明信号x能够进行稀疏表示，这样的信号能够进行很好的压缩。在本文中，由于离散小波变换较好的稀疏表示能力，我们采用的稀疏基Ψ为离散小波稀疏基。因此为了求解稀疏表示S，我们可以得到(3)式的一种全新表达形式。

其中，为稀疏系数向量S的求解近似值，因此我们得到原始信号的近似解为