[发明专利]一种不规则试验区域上的近似均匀试验方法

权利要求书

1.一种不规则试验区域上的近似均匀试验的方法，在给定的不规则设计区域D₀和试验总数n，找到一个完全覆盖D₀更大的超立方体D，搜索D上试验总数从N_l到N_u且恰有n个点落入D₀所有NT-nets，并从中选出最均匀的设计，此处N_l和N_u定义计算机搜索的试验总数N的下界和上界；设计的均匀性度量采用均方根距离RMSD，平均距离AD和Borkowski和Piepel2009提出的最大距离MD准则；能够在任意不规则区域上构造方式，具有满意的均匀性和搜索速度；具体步骤如下：

1)、不规则设计区域D₀上设计的均匀性基础

设D是q维欧式空间R^q中给定区域，它是一个规则区域，D₀是D的子集，U(D)和U(D₀)分别表示区域D和D₀上的均匀分布；按照如下方式构造一个随机向量v：从U(D)中随机抽取一样本ε，如果ε落入D₀内，则令v＝ε；否则继续从U(D)中随机抽取一样本ε直到ε落入D₀内为止并令v＝ε，那么v肯定服从D₀上的均匀分布；证明如下：

设随机向量ξ～U(D)，B是D₀的一个子集，那么然后事件{v∈B}写成两两不相交的集的并，即A_i表示事件，第i个ξ落入区域D₀的事件，C_i表示如果第i个ξ落入区域B的事件；注意A_iC_i＝C_i和可列可加性，{v∈B}的概率写成

根据事件独立性，有

综合上面两个公式，有

其中V(B)，V(D₀)和V(D)分别代表B，D₀和D的体积；这表明v～U(D₀)；

注1：上述证明过程表明如果N个点x₁，...，x_Nx＝(x₁，...，x_q)均匀分布在区域D上，那么落在D的子集D₀上的点也是在D₀中均匀分散的；换句话说，D上均匀性好的设计保证了D₀点的均匀分布；

2)、规则区域D上进行均匀设计所需试验样本总数的上下界的确定方法x₁，...，x_N是来自于U(D)的均匀随机样本；在这N个样本中，如果恰好有n个样本点落入区域D₀内那么参数N的1-α置信区间近似为其中p＝V(D₀)/V(D)，是标准正态分布N(0，1)的上α/2分位数；证明过程如下：

根据中心极限定理，可知，当N趋于无穷时，趋于标准正态分布N(0，1)；因此，小于等于1-α的概率收敛于即

解之，得到参数N的1-α置信区间近似为

注2：上述证明过程告知，在计算机搜索过程中，如何为大的规则区域D上均匀设计的试验点数N选择合理的上下限；给定下界N_l设置成不大于的最大整数，上界N_u设置成不小于的最小整数；

同时，很灵活地选择，一个大的值意味着更大N的置信区间；如果取α≈0.32；那么1-α(≈0.68)置信区间意味着，如果我们要得到一个D上100个点的均匀设计的每个设计恰有n个点在子集D₀上，那么需要构造68个试验总数在N_l和N_u之间的设计。

2.根据权利要求1所述的一种不规则试验区域上的近似均匀试验的方法，其特征是：所述给定的不规则q维不规则区域区域D₀和试验总数n，构造了D₀上n个点的均匀设计的算法，如下所示：

1)、不规则设计区域D₀上构造均匀设计的算法步骤

步骤1：找到一个能够完全覆盖D₀的超立方体D；

步骤2：根据上述注2选择合适的下界N_l和上界N_u；对于k＝N_l，N_l+1，…，N_u，记S_K为生成的算法生成的D上的所有NT-nets，记

步骤3：记T为集合S中恰好有n个点落在区域D₀中的所有设计的集合；

步骤4：根据区域D上的RMSD、AD或MD的准则，从T中选最佳设计作为D₀搜索上的近似均匀设计；

其中，上述算法的步骤2中，超立方体D上k＝N_l，N_l+1，…，N_u时所有的S_K的构造算法，如下述的算法2实现；

2)、超立方体D上均匀设计的构造算法

步骤1：对给定的试验次数N，生成向量h＝(h₁，...，h_s)，其中h₁＜…＜h_s是小于N且与N互素的所有正整数，s是这些h_j的个数；当N＝9，相应的h为(1，2，4，5，7，8)且s＝6；注意到，对任意的N，h的第一个元素肯定为1；

步骤2：根据h生成N×s的矩阵Z＝(z_ij)，其中z_ij＝ih_j(mod N)；矩阵Z称为格子点矩阵就是一个具有N个点的设计，其中每行对应一个设计点；很显然，Z的每列是{0，1，...，N-1}的一个置换；

步骤3：由Z的任意q列形成的子阵是一个N×q的格子点阵；注意，行与行互换时设计保持不变；因此，格子点阵第一列设为(0，1，...，N-1)′的话，从Z至多能够得到T＝(s-1)！/(q-1)！(s-q)！个不同的N×q格子点阵；

步骤4：对t＝1，...，T，令表示第t个格子点阵，构造矩阵其中注意到，A^t的每个点属于q维单位立方体[0，1)^q，且A^t的每列是{1/(2N)，3/(2N)，...，(2N-1)/(2N)}的一个置换；这些A^t称为[0，1)^q上具有N个点的均匀设计；

步骤5：经过上述4个步骤，就得到了在超方体[0，1)^q上的均匀设计；如果实际问题给定的超方体D不是[0，1)^q，那么再执行步骤5，应该对这些NT-nets进行简单的线性变换，将设计的元素相应换算到超方体D上；当如果设计区域为[0，5)^q，则对应的NT-nets的所有元素都要乘以5。