[发明专利]一种单位圆盘图上的最大独立集近似求解方法

说明书

本发明公开了一种单位圆盘图上的最大独立集近似求解方法，包括以下步骤：步骤1：利用动态规划方法设计一种单位圆盘顶点的相邻顶点集诱导子图的最大顶点独立集的最优解求解方法，并给出任意两顶点相邻顶点集并集诱导子图的最大顶点独立集的最优解；步骤2：针对一般的单位圆盘图，首先计算顶点支配独立集；之后对顶点支配独立集中成员进行单独检查，判断结果是否可优化，得到中间解；最后对中间解中成员进行联合检查，判断结果是否可优化，得到最终解。本发明以O(Δ²n³)的计算时间复杂度得到近似比为1.5的近似解，其中Δ为顶点最大度，相比单位圆盘图上最大独立集求解问题的现有近似算法，本发明提高了近似比，具有更高的效率。

技术领域

本发明属于图计算理论相关技术，具体涉及一种单位圆盘图上的最大独立集近似求解方法。

背景技术

UDG，即单位圆盘图，是二维平面内一组单位圆盘形成的相交图，它在建模无线传感器网络、移动自组织网络等起着至关重要的作用。在这些网络中，每个节点依照通信协议都拥有一定范围的通信距离，任意两个节点只能当彼此进入对方可通信距离时才可以进行通信。如果所有节点都具有相同的通信距离，那么该网络可以建模为一个UDG。

对于平面内的单位圆盘集合D＝{D₁,D₂,…,D_n}，其中D_i的直径是1，D_i的中心是顶点v_i，在本发明所有对于顶点的描述中均表示单位圆盘的中心点。在UDG G＝(V,E)上，所有圆盘的中心构成顶点集V。如果任意两个顶点v_i和v_j的欧式距离d(v_i,v_j)≤1，那么存在边(v_i,v_j)∈E。如果存在集合其中任意两顶点v_i,v_j∈S(i≠j)满足d(v_i,v_j)＞1，那么S是顶点集V中的一个独立集。如果|S|表示集合S中成员的总数量，并且S_opt使得|S|取得最大值，那么S_opt是一个最大独立集。对于任意的两个顶点v_i,v_j∈V(i≠j),如果d(v_i,v_j)≤1,那么v_i和v_j被称为相邻顶点，否则它们被称为不相邻顶点。

UDG相关研究问题已经被广泛研究，如最大独立集问题，图着色问题，最小支配问题等等，所有的这些问题已经被证明是NP难的。使用多项式时间解决UDG上的最优化问题目前依然有着很高的时间复杂度。当UDG被定义在一个宽度为k的窄条里面时，T.Matsui提出一种能够在时间复杂度下得到最大独立集。同时，针对于一般的UDG，他还提出一种比为1-1/r的算法，时间复杂度为其中r是一个正整数。针对一般的UDG，M.V.Marathe给出了比为3的最大独立集算法，其时间复杂度是O(n²)。另外，G.K.Das在O(n³)时间复杂度下，给出一种比为2的求解算法。之后，G.K.Das还提出一种比为2.16的算法，其时间复杂度是O(nlog²n)，并且将2算法的时间复杂度降低到O(n²logn)。最近，SubhasC.Nandy在当所有单位圆盘都相交于一条水平线的条件下，求得到了最大独立集的最优解，算法时间复杂度是O(n²)，并且针对一般的UDG，在该时间复杂度下给出了比为2的解。

发明内容

本发明的目的是提供一种单位圆盘图上的最大独立集近似求解方法。

一种单位圆盘图上的最大独立集近似求解方法，该方法包括以下步骤：