[发明专利]一种大时间带宽积PSWF数值解及特征值的求解方法

说明书

本发明提供了一种大时间带宽积PSWF数值解及特征值的求解方法，该方法是以PSWF数值解及特征值的显式渐近表达式的形式进行求解的；在时间带宽积c一定时(c>10π)，本发明能够以一个统一的表达式求解所有阶数的PSWF数值解及特征值；相比于基于Hermite函数和Legendre多项式的显式渐近表达式，依据本发明提供的方法对大时间带宽积PSWF数值解及特征值实施计算，可以使得所有阶数的PSWF数值解及特征值始终获得较小的求解误差，且由本发明得到的PSWF数值解的能量聚集性更为理想。

技术领域

本发明涉及数字信号处理领域中信号数值解的求解方法，尤其涉及一种大时间带宽积椭圆球面波函数(PSWF)信号的数值解及特征值的求解方法。

背景技术

椭圆球面波函数(Prolate Spheroidal Wave Functions,PSWF)是一种非正弦类完备正交函数系，具有时间带宽可控性、高时频能量聚集性等优良特性。自提出以来，PSWF在非正弦波通信、卫星通信、超宽带通信等领域已经取得了一系列研究成果，具有极大的发展潜力。

归纳起来，随着时间带宽积的增大，PSWF至少能够为通信系统带来如下优势：第一，与正弦波调制信号相比，PSWF调制信号的时间带宽积是灵活可控的，在双选择性衰落信道中，通过增加信号时宽以增加时间带宽积能够提升通信系统的抗多径性能，通过增加信号带宽以增加时间带宽积能够提升通信系统的抗多普勒性能。第二，在基于PSWF的非正弦时域正交调制方法中，时间带宽积的增大能够实现通信系统能量效率的提升；同时，在频谱交叠度和子频带数目不变的情况下，时间带宽积的增加能够提升通信系统的频带利用率。第三，在基于PSWF窗的数字滤波器设计中，增加时间带宽积能够降低FIR数字滤波器的阻带衰减。

然而，由于PSWF无闭式解析解，其求解问题一直是限制其推广与应用的主要障碍之一。PSWF的求解方法大致可分为三类：多项式逼近法、重构算法、toeplitz矩阵数值法。这些求解方法在实际应用中均表现出不同程度的局限性(如计算复杂度高、对硬件要求高、超出适用范围会导致信号失真等)，尤其在求解大时间带宽积PSWF时，局限性会更为显著。

针对上述局限，为降低大时间带宽积PSWF的求解复杂度，Vladimir Rokhlin和Hong Xiao等人在多项式逼近法的基础上，在文献“Hong Xiao,Vladimir Rokhlin.High-Frequency Asymptotic Expansions for Certain Prolate Spheroidal Wave Functions[J].The Journal of Fourier Analysis and Applications,2003,6(9):575-596.”中给出了基于Hermite函数的显式渐近表达式，在文献“Vladimir Rokhlin,HongXiao.Approximate formulae for certain prolate spheroidal wave functions validfor large values of both order and band-limit[J].Applied and CompututionalHarmonic Analysis,2007(22):105-123.”中给出了基于Legendre多项式的显式渐近表达式。采用这两种表达式求解大时间带宽积PSWF信号，只需给定PSWF阶数m和时间带宽积c两参数，代入求值即可，无需进行矩阵特征值和特征向量的求解计算，计算复杂度大幅下降。

遗憾的是，未见相关文献明确给出上述两种表达式的适用范围。笔者在研究中发现，两者的适用条件存在一定的互补特性，即基于Hermite函数的显式渐近表达式的求解精度与c成正比、与m成反比，而基于Legendre多项式的显式渐近表达式的求解精度与c成反比、与m成正比。由此导致的问题是，当c给定时，在一定误差限制条件下无法以一个统一的表达式求解各阶PSWF。

发明内容