[发明专利]二维免求逆稀疏贝叶斯学习快速稀疏重构方法

权利要求书

1.一种二维免求逆稀疏贝叶斯学习快速稀疏重构方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

S1对二维稀疏重构问题进行稀疏表示建模：

从不完整观测数据中重构二维稀疏信号，首先需要建立两者的关系表达式，如下式所示：

Y＝AXB^T+N (1)

其中分别表示观测信号、左字典矩阵、稀疏信号、右字典矩阵以及噪声，表示实数集，P、Q、M、N分别表示矩阵的维数，在二维稀疏重构问题中，观测信号维度小于稀疏信号，即P＜M且Q＜N；由于观测信号与稀疏信号均为二维信号，无法直接采用传统稀疏重构方法从观测信号Y中重构稀疏信号X，首先需要将两者进行向量化：

y＝Φx+n (2)

其中y＝vec(Y)、x＝vec(X)、n＝vec(N)分别表示观测信号、稀疏信号与噪声的向量化，vec(·)表示按列堆叠对矩阵进行向量化；表示矩阵向量化对应的字典矩阵：其中表示矩阵的克罗内克积；

S2对向量化稀疏信号x以及向量化噪声n进行统计建模：

统计建模过程中，采用两层结构的高斯分布对向量化稀疏信号x进行统计建模：在第一层中，假设向量化稀疏信号x的各元素服从均值为零且相互独立的高斯分布：

其中γ表示向量化的方差倒数，x_n、γ_n分别表示向量化稀疏信号x和向量化方差倒数γ的第n个元素；

在第二层中，假设向量化方差倒数γ服从伽马分布：

其中a、b分别表示伽马分布的形状参数和尺寸参数；

同样采用两层结构的高斯分布对向量化噪声n进行统计建模：在第一层中，假设向量化噪声n服从零均值高斯分布，则向量化观测信号y的似然函数同样服从高斯分布：

其中表示高斯分布，I表示单位矩阵，α表示噪声方差的倒数；

在第二层中，假设噪声方差的倒数α服从伽马分布：

其中c、d分别表示伽马分布的形状参数和尺度参数；

S3求解向量化稀疏信号x、向量化方差倒数γ与噪声方差倒数α的后验概率：

IFSBL方法基于式(5)所示向量化观测信号y的似然函数，以及式(3)所示向量化稀疏信号x的先验概率，所得向量化稀疏信号x的后验概率为：

其中期望μ与协方差矩阵Σ如下式所示：

其中为辅助变量，·表示求期望算子，T为常量，其取值略大于利普希茨常数；diag(·)表示利用向量生成对角矩阵；由式(9)可知，协方差矩阵Σ为对角矩阵，因此对其求逆可以通过对各元素分别取倒获得，运算效率明显提升；然而式(8)中涉及大矩阵Φ的计算，运算效率低，且对内存要求高；针对此问题，本发明对式(8)所示期望求解过程进行修正，使之可以直接处理二维数据，以避免矩阵向量化导致的大矩阵计算；具体而言，将式(9)代入式(8)可得：

其中表示矩阵各元素分别相除，1_MN×1表示尺寸为MN×1，且各元素全为1的向量；进一步将代入式(10)，并利用克罗内克积的相关性质，可得：

上式可以重新变换为矩阵形式：

其中分别为期望μ、辅助变量z以及向量化方差倒数γ的矩阵形式，1_M×N表示1_MN×1的矩阵形式；

进一步计算向量化方差倒数γ的矩阵形式Γ的后验概率，通过贝叶斯公式可得，其同样服从伽马分布：

其中形状参数和尺度参数如下式所示：

其中X_m,n表示稀疏信号X的第m行、n列元素，的期望的计算表达式为：其中U_m,n、Γ_m,n分别表示U和Γ的第m行、n列元素；

最后计算噪声方差倒数α的后验概率，由贝叶斯公式可知，其同样服从伽马分布：

其中，α后验概率的形状参数与尺度参数分别为：

其中sum(·)、⊙分别表示矩阵内各元素相加以及两个矩阵每个元素分别相乘；

式(12)、(18)中涉及的期望α与Γ可分别由式(16)与(13)所示后验概率获得，如下式所示：

Γ_m,n表示向量化方差倒数γ期望的矩阵形式Γ中各元素的期望；

S4更新辅助变量的矩阵形式Z：

计算出向量化稀疏信号x、向量化方差倒数γ与噪声方差倒数α的后验概率后，进一步通过下式更新辅助变量的矩阵形式Z：

Z＝U (21)

综上所述，本发明的处理流程可概括为：循环迭代式(12)、式(19)、式(20)以及式(21)，直至相邻两次迭代所得U之间的相对误差达到额定门限，最后一步所得U即为重构的稀疏信号。