[发明专利]输流圆柱壳振动特性预报方法

权利要求书

1.输流圆柱壳振动特性预报方法，其特征是：

(1)建立输流圆柱壳流固耦合类梁壳模型：

根据Sanders薄壳理论得到轴对称圆柱壳应力{δ}和应变{ε}的关系满足：

{δ}＝[D]{ε}

具体表达式为{δ}＝{N_xx,N_θθ,N_xθ,M_xx,M_θθ,M_xθ}^T＝[D]{ε}

其中：

D₁₁＝D₁₂＝vD₁₁＝vD₂₂＝vEh/(1-v²)，

D₆₆＝D₃₃h²/12＝Eh³/24(1-v)，

将圆柱壳的位移进行傅里叶余弦展开,具体表达式如下:

{u}＝{u_xcosnθ,u_θsinnθ,u_rcosnθ}^T，

其中，n为周向波数，u_x为轴向位移，u_r为径向位移，u_θ为周向位移；

每个单元各方向位移的具体形式通过相应的形函数和节点位移呈现：

则单元位移表达式简写为：

[N_t]为形函数，为节点位移矢量；每个单元有两个节点，每个节点包含四个位移，轴向周向径向和一个旋转量节点位移和形函数表达式如下:

其中，

N₁＝(1-ξ)cosnθ，N₂＝ξcosnθ，N₃＝(1-ξ)sinnθ，N₄＝ξsinnθ，

N₅＝(1-3ξ²+2ξ³)cosnθ，N₆＝(ξ-2ξ²+ξ³)lcosnθ，

N₇＝(3ξ²-2ξ³)cosnθ，N₈＝(-ξ²+ξ³)lcosnθ；

轴对称圆柱壳应变矢量{ε}和位移矢量的关系为：

应变位移矩阵[B]：

其中：

利用有限元最小位能原理和壳体理论，得到单元质量、刚度矩阵和力矢量表达式如下:

其中p_d为流体作用于壳壁的压力，由经典势流理论可得：

(2)建立输流圆柱壳场传递矩阵：

考虑流固耦合的输流管路类梁壳单元振动微分方程：

其中，

表示内含流体的影响；

假设圆柱壳振动为简谐振动形式，则节点位移列阵可表示为：

每个单元的节点力表示为：

ω为管道振动圆频率；对单元振动微分方程进行变换：

简写成如下形式：

分块以后得

进行恒等变换，写成如下形式：

其中：

由此得到单元前后端的矢量关系：

得到划分为n个类梁壳单元的输流圆柱壳场传递矩阵用U_t表示为：

(3)有限元-传递矩阵法振动特性预报：

引入Riccati变换，之后代入边界条件及外部作用力等定解条件，应用有限元传递矩阵方法预报输流圆柱壳流固耦合振动特性问题；

其中，x,r,θ为柱坐标方向；N为中面等效薄膜力；ν为泊松比；n为周向波数；J_n为贝塞尔函数；u_x,u_θ,u_r为沿柱坐标方向的位移；M为中面等效弯矩；E为杨氏模量；h为圆柱壳厚度。

2.根据权利要求1所述的输流圆柱壳振动特性预报方法，其特征是：预报内容包括频域响应预报、固有频率预报和结构振型预报：

单元i的输入、输出端状态矢量之间存在如下关系：

{Z}_O,i＝[U]_I,i{Z}_I,i+{f}_i

其中，{Z}_O,i是m维状态矢量，[U]_I,i是m×m维传递矩阵，{f}_i是m维载荷函数列阵；

当系统具有m个状态变量时，将式{Z}_O,i＝[U]_I,i{Z}_I,i+{f}_i作如下划分：

上式，{Z_a}包含m/2个元素，这些元素在系统输入点状态矢量中为零，{Z_b}包含在系统输入点状态中未知的m/2个状态变量，[T₁₁]、[T₁₂]、[T₂₁]、[T₂₂]是传递矩阵[U]_I,i中的元素重新排列后形成的子矩阵，{f_a}是载荷函数列阵{f}_i中与{Z_a}对应的m/2个元素组成的列阵，{f_b}是载荷函数列阵{f}_i中与{Z_b}对应的m/2个元素组成的列阵；

引入如下Riccati变换：

{Z_a}_I,i＝[S]_i{Z_b}_I,i+[e]_i

上面的关系式，将{Z_a}和{Z_b}放入同一个等式中，未知的(m/2)×(m/2)维矩阵[S]_i为联接点P_I,i的Riccati传递矩阵，展开式得：

{Z_a}_O,i＝[T₁₁]_i{Z_a}_I,i+[T₁₂]_i{Z_b}_I,i+{f_a}_i

{Z_b}_O,i＝[T₂₁]{Z_a}_I,i+[T₂₂]_i{Z_b}_I,i+{f_b}_i

把式{Z_a}_I,i＝[S]_i{Z_b}_I,i+[e]_i代入{Z_b}_O,i＝[T₂₁]{Z_a}_I,i+[T₂₂]_i{Z_b}_I,i+{f_b}_i，得

{Z_b}_I,i＝([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1{Z_b}_O,i-([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1([T₂₁]_i[e]_i+{f_b}_i)

利用式{Z_a}_I,i＝[S]_i{Z_b}_I,i+[e]_i和{Z_b}_I,i＝([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1{Z_b}_O,i-([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1([T₂₁]_i[e]_i+{f_b}_i)消去式{Z_a}_O,i＝[T₁₁]_i{Z_a}_I,i+[T₁₂]_i{Z_b}_I,i+{f_a}_i中的{Z_a}_I,i和{Z_b}_I,i，得

{Z_a}_O,i＝([T₁₁]_i[S]_i+[T₁₂]_i)([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1{Z_b}_O,i+[T₁₁]_i[e]_i+{f_a}_i-([T₁₁]_i[S]_i+[T₁₂]_i)([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1([T₂₁]_i[e]_i+{f_b}_i)

将上式写成如下形式

{Z_a}_O,i＝[S]_i+1{Z_b}_O,i+[e]_i+1

式中

[S]_i+1＝([T₁₁]_i[S]_i+[T₁₂]_i)([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1

[e]_i+1＝[T₁₁]_i[e]_i+{f_a}_i-[S]_i+1([T₂₁]_i[e]_i+{f_b}_i)

式[S]_i+1＝([T₁₁]_i[S]_i+[T₁₂]_i)([T₂₁]_i[S]_i+[T₂₂]_i)^-1和式[e]_i+1＝[T₁₁]_i[e]_i+{f_a}_i-[S]_i+1([T₂₁]_i[e]_i+{f_b}_i)为[S]_i和[e]_i的一般递推方程；由系统输入点的边界条件可得{Z_a}_I,i≠{0}、{Z_b}_I,i≠{0}，代入式{Z_a}_I,i＝[S]_i{Z_b}_I,i+[e]_i可得初始条件：

[S]₁＝[0],[e]₁＝[0]

利用式[S]₁＝[0],[e]₁＝[0]，得到整个系统的[S]_i和[e]_i，包括系统输出点的[S]_n+1和[e]_n+1；假设系统被划分为n个单元，则对系统输出点P_O,n：

{Z_a}_O,n＝[S]_n+1{Z_b}_O,n+[e]_n+1

{Z_a}_O,n、{Z_b}_O,n包含了系统输出点状态矢量的所有元素，共m个，由边界条件可知其中有m/2个元素为零；对于稳态振动和静载荷问题，式{Z_a}_O,n＝[S]_n+1{Z_b}_O,n+[e]_n+1是包含了m/2个未知量的非齐次线性方程，把系统输出点的边界条件代入式{Z_a}_O,n＝[S]_n+1{Z_b}_O,n+[e]_n+1，可求解出系统输出点状态矢量中的未知元素；对于特征值问题，式{Z_a}_O,n＝[S]_n+1{Z_b}_O,n+[e]_n+1是由m/2个方程组成的齐次方程组成，把系统输出点的边界条件代入式{Z_a}_O,n＝[S]_n+1{Z_b}_O,n+[e]_n+1后，要系统有非零解，则该齐次方程组的行列式为零，由此可知系统的频率方程，求解可得系统固有频率。