[发明专利]考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法

权利要求书

1.考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和滑模控制方法，其特征是：

(1)柔性机械臂-关节电机联合建模：

机械臂系统表示为

其中，θ＝[θ₁ θ₂]^T∈R²为关节转角，q＝[q₁ q₂]^T∈R⁴，q_i＝[q_i1 q_i2]^T分别表示第i杆的柔性模态，i＝1,2；E₁∈R^2×2和E₂∈R^4×4为阻尼阵，K∈R^4×4为刚度阵，它们都是正定的；f_r(θ,q)∈R²为受重力影响的矢量；f_f(θ,q)∈R⁴为受离心力、哥氏力影响的项；τ＝[τ₁ τ₂]^T∈R²为控制输入转矩；M(θ,q)∈R^6×6为正定对称惯量阵，

M_r∈R^2×2，M_rf∈R^4×2，M_f∈R^4×4，带“Δ”项表示相应参数的不确定项；

将上式写成如下状态方程的形式

不确定项Δ₁和Δ₂分别为

假设||Δ₁||≤ε₁,ε₁0；||Δ₂||≤ε₂,ε₂0；

这里进一步考虑直流电机充当关节驱动的电机动态性，即有

其中，L＝diag[L₁,L₂],R＝diag[R₁,R₂],K_e＝diag[k_e1,k_e2],K_T＝diag[k_T1,k_T2]分别表示两个柔性臂上电机的电感、电阻、反电势常数和电流-转矩常数阵，T_e＝[T_e1,T_e2]^T∈R²,U＝[u₁,u₂]^T∈R²分别外部有界的电压扰动和输入端电压；

M逆矩阵表示为

其中，N₁₁∈R^2×2,N₁₂∈R^2×4,N₂₁∈R^4×2,N₂₂∈R^4×4；

定义新变量有

其中，

(2)模型变换与解耦：

重新定义输出变量

z＝λ₀θ+λ₁q

其中，z∈R²，设计矩阵λ₀∈R^2×2为对角阵，且λ₁＝diag[λ₁₁^T λ₁₂^T]为分块对角阵，λ_1i∈R^2×2,i＝1,2；

通过对z两次求导，则直流电机输出转矩τ显现出来，即有

其中，

β＝λ₀N₁₁+λ₁N₂₁

再做一次模型变换，定义变量z₃＝I-I_A,其中，I_A＝[I_A1,I_A2]^T∈R²为直流电机的稳态电流，将式z＝(α+Δα)+βτ进一步变换为

柔性机械臂-关节电机联合模型维数为7，重定义系统维数是3，剩下的4维柔性模态构成系统的内部子系统，即有

当设计控制率u使得重定义系统的状态z₁＝z₂＝z₃＝0有限时间收敛，即由

τ＝-β^-1(α+Δα)

代入则内部子系统变为零动态子系统

综合以上模型变换，柔性机械臂-关节电机联合模型分解为重定义子系统和零动态子系统；

柔性臂的末端角位移视为柔性臂为刚性时的角位移和各柔性模态的弹性形变之和，即有

(3)设计重定义子系统的有限时间滑模控制器：

针对重定义系统，引入非线性幂指数项，设计滑模面为

其中，s∈R²，c₁,c₂为设计参数，且c₁＝diag[c₁₁ c₁₂]，c₂＝diag[c₂₁ c₂₂]，c_i0,i＝1,2；

重定义系统中包含未知的不确定项Δα，在设计相应滑模控制器时需要知道其上边界范围，即有

基于滑模等效控制原理，设计滑模控制律u由等效控制项u_eq和切换项u_n组成，即u＝u_eq+u_n；其中，等效控制项u_eq旨在维持系统稳定于滑模面，即由s＝0可得到

而对于切换项u_n，构造李雅谱诺夫方程V＝0.5s^Ts获得，对其求时间微分，则有

接着，代入等效控制项u_eq，则有进而可设计切换项u_n为

使得成立，可保证重定义系统的状态z₁、z₂和z₃有限时间收敛；

(4)获取柔性机械臂的末端位移：

针对零动态子系统，在x＝0具有局部稳定性，其稳定区域表示为Ω；对柔性机械臂的矩阵N和f_f进行线性化，即有

其中，f_hot(x)表示关于状态x的高阶项，假设||f_hot||≤ε₃，ε₃0，

将N和f_f代入零动态子系统，则有

其中，

P₀(λ₀,λ₁)＝-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)

G_Δ(λ₀,λ₁)＝P₀(λ₀,λ₁)[f_hot(x)-Δ₂]

定义变量进一步将简化为

其中，

且有扰动项G的上边界范围为||G||≤ε，其中

ε＝(ε₃+ε₂)||[-N₂₂₀+N₂₁₀(λ₀N₁₁₀+λ₁N₂₁₀)^-1(λ₀N₁₂₀+λ₁N₂₂₀)]||

一方面，设计参数λ₀，λ₁的不同取值对应着矩阵A的不同特征根，其取值需要保证A为Hurwitz矩阵，即矩阵A的特征根都在复平面的左半平面上，零动态子系统是稳定的；另一方面，假设存在正定对称阵P∈R^2r×2r，且满足Q为正定对称阵，考虑如下Lyapunov函数V＝Φ^TPΦ，并对V求一阶导数，则有

为保证零动态子系统Φ＝AΦ+G的稳定性，根据李雅谱诺夫稳定定理，则需要满足V＜0，进而可得到柔性模态q的收敛范围为

由于在式控制律u作用下，式z＝λ₀θ+λ₁q重定义输出z(t)＝λ₀θ+λ₁q＝0成立，关节转角θ的收敛范围可得

最终获得考虑关节电机特性的柔性机械臂联合建模和控制作用下的柔性机械臂的末端位移范围为

Ω_i＝{y_i:||y_i||≤L_i||θ_i||+||Φ_ie||||q_i||,i＝1,2}。