[发明专利]一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法

权利要求书

1.一种带落角约束的线性伪谱散布控制制导方法，其特征在于：该方法包括以下步骤：

步骤1：选取标准基函数参数化表示控制变量

考虑具有强终端约束的非线性动态系统

δx_f＝x(t_f)-x_f (2)

其中，x∈Rⁿ,u∈R^m,t∈R分别是系统状态变量、控制变量和时间；x_f是终端状态约束；δx_f是终端状态偏差；

每一个控制变量u_i参数化表示为如下形式

其中，φ_j(t)是预先选定的标准基函数，c_ij是表示控制变量u_i的标准基函数φ_j(t)的权重系数,又称控制变量参数，N_p是式(3)中标准基函数的数目

步骤2：线性化动态系统

将式(1)展开成泰勒级数形式，忽略高阶项，并将一阶微分项作为自变量；得到一组线性动力学方程

其中，雅可比矩阵A和表示为如下形式

其中，x_p,u_p,c_p分别为标称状态变量，标称控制变量和标称控制变量参数；需要注意的是，实际的状态变量定义为x＝x_p-δx；类似的，实际的控制变量和控制变量参数表示为u＝u_p-δu,c＝c_p-δc；

步骤3：线性高斯伪谱法离散线性动态系统

选用高斯伪谱法，并选择LG节点作为离散配置点；

这样，经过时域转换后原线性最优控制系统就被转化为如下形式

在LG节点，通过如下式所示的微分近似矩阵得到状态偏差的导数

其中，微分近似矩阵D∈R^N×(N+1)通过在LG节点上对拉格朗日差值多项式求导获得；矩阵是微分近似矩阵D的第一列；微分近似矩阵D的元素表示为

状态偏差表示为如下的矢量形式

通过将式(10)代入到式(7)中，原线性微分方程组不仅被转化为一组代数方程，而且被表现为LG节点上的状态偏差；

步骤4：求解状态偏差解析解

将微分近似矩阵分解为两部分；然后将式(11)中状态偏差进行重新整理，将代数方程简化为如下形式

其中，D₁是微分近似矩阵D中与初始状态偏差有关的部分；D_2:n是微分近似矩阵D中与LG节点上状态偏差相关的其余部分；

接下来，重新整理式(12)，状态变量在所有LG节点上的偏差的解析表达式表示为

然后，由于LG节点不包括边界点，上式求出的状态偏差向量δx不包括终端状态偏差；利用高斯求积公式求出终端状态偏差，式(7)的积分形式表示为

因此，终端状态偏差表示为

其中，ω_i是高斯求积系数；重新整理式(15)，终端状态偏差表示为如下形式

其中，L是一个列向量，矩阵W由高斯求积系数组成，它们被具体表示为

将式(13)代入到式(16)中并整理结果，发现，终端状态偏差表示为初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc的线性函数；

δx_f＝K^xδx₀+K^cδc (18)

其中，K^x,K^c分别为终端状态偏差δx_f对初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc的偏导数；从中看出初始状态偏差δx和控制变量参数调整量δc对终端状态偏差δx_f的影响；K^x,K^c的具体表达如下

其中，偏微分函数F^x,F^c具体定义为

初始状态偏差δx已知并且为零向量；但是，部分状态变量没有终端约束；因此，需要引入消除矩阵Y来消去没有终端约束相应的终端状态偏差；矩阵Y由单位矩阵删去没有终端约束的状态变量所对应的行组成；

Yδx_f＝YK^cδc (21)

如果控制变量参数的调整量δc的未知数个数等于式(21)中等式的个数，那么用来消除预测终端状态偏差的控制变量参数的调整量δc就通过下式求得

δc＝(YK^c)^-1Yδx_f (22)；

步骤5：添加性能指标泛函

式(21)是不完全约束方程；在满足式(21)的约束条件下，通过构造最小化或最大化的性能函数来求解；注意，式(3)中控制变量的上界表示为如下形式

因为预先选定的标准基函数|φ_j(t_k)|是固定的，通过最小化c_j来获取最小化的u(t_k)；因此，选择如下形式的性能泛函

式(21)和式(24)组成了一个有适当约束静态优化问题；根据静态优化理论，增广性能泛函表示为

步骤6：求解满足终端约束的控制变量

利用最优控制问题的一阶必要条件，得到

联立求解式(26)和(27)，得到更新的控制变量参数c

c＝c_p-δc＝-R^-1(YK^c)^T[YK^cR^-1(YK^c)^T]^-1(Yδx_f-YK^cc_p) (28)

最终得到更新后的控制变量解析表达式