[发明专利]一种M通道联合时间顶点非下采样滤波器组的优化设计方法

权利要求书

1.一种M通道联合时间顶点非下采样滤波器组的优化设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

1)设计M通道联合时间顶点非下采样分析滤波器组：联合时间顶点滤波器定义如下：

式中为普通图即顶点域上的归一化拉普拉斯矩阵，其中为单位阵，D为度矩阵，W为加权邻接矩阵，为有向循环图即时间域上的拉普拉斯矩阵，其中为单位阵，为邻接矩阵，K_t和K_g分别表示时域和顶点域上滤波器的长度，a_k,l表示滤波器系数，表示克罗克内克积，在M通道联合时间顶点非下采样滤波器组中，假设x和分别表示输入和重构的时变图信号，{H₀,…,H_M-1}和{G₀,…,G_M-1}分别为分析滤波器组和综合滤波器组，z_i＝H_ix为各个通道的子带信号，则滤波器组的输入输出关系如下：

其中T为传递函数，则滤波器组的完全重构条件可以表示为T＝I，即

其中I为单位矩阵，由此可得到在联合频域上的完全重构条件为：

h_i(ω,λ)，g_i(ω,λ)，i＝0,…,M-1分别是分析滤波器和综合滤波器的频谱核，M/2个分析滤波器的联合频谱核为：

式中ω，λ分别表示分析滤波器的时频域和图频域，联合频域范围为[-π,π]×[0,2]，M为通道数，M＞2且为偶数，K_t，K_g分别表示分析滤波器组中时域和顶点域上的滤波器长度，表示第i个分析滤波器的滤波器系数，另外M/2个分析滤波器频谱核可通过对M/2个分析滤波器频谱核在时频上调制得到，调制公式如下：

h_i+M/2(ω,λ)＝h_i(ω+π,λ),i＝0,…,M/2-1           (6)，

根据滤波器线性相位的性质设定滤波器系数公式(5)可以更改为：

式中h_i,R(ω,λ)＝(c_i(ω,λ))^Th_i，为实数频率响应函数，T表示转置，其中：

上述中，假定K_t为偶数，K_t为奇数的情况也可以类似推出，联合时间顶点分析滤波器组的频率特性可由其通带平坦度和阻带衰减决定，采用最小化关于滤波器系数向量h_i的失真函数来控制它们，通带平坦度函数表达式如下:

其中d_i是与滤波器系数h_i无关的常量，为分析滤波器的通带区域，以及

高阻带衰减可以通过控制阻带能量函数实现，其表达式如下：

其中为分析滤波器的阻带区域，综上，分析滤波器组的设计可以归结为一个无约束的优化问题：

其中h_i为第i个分析滤波器系数向量，由公式(13)可得到M/2个分析滤波器系数向量，进而得到对应的分析滤波器频谱核，最后得到对应的分析滤波器；

2)依据步骤1)的数据，通过调制公式(6)对M/2个分析滤波器频谱核在时频域上调制可得到另外M/2个分析滤波器频谱核，然后得到对应的分析滤波器，最终得到M通道联合时间顶点非下采样分析滤波器组；

3)设计M通道联合时间顶点非下采样综合滤波器组：设计非多项式形式的综合滤波器可归结为一个带约束的优化问题，如公式(14)所示：

其中约束条件为公式(3)中的完全重构条件，G_i表示第i个综合滤波器，H_i是由步骤1)、步骤2)求解得到的分析滤波器，I是一个单位矩阵，F表示矩阵的F范数；

4)将步骤3)的带约束优化问题采用拉格朗日乘子法求解，最终可得到综合滤波器G_i的非多项式形式。

2.根据权利要求1所述的M通道联合时间顶点非下采样滤波器组的优化设计方法，其特征在于，步骤1)中的无约束优化问题采用凸优化工具包cvx求解，进而得到对应的分析滤波器。

3.根据权利要求1所述的M通道联合时间顶点非下采样滤波器组的优化设计方法，其特征在于，步骤4)所述的将步骤3)的带约束优化问题采用拉格朗日乘子法求解为：

拉格朗日函数的表达式为公式(15)：

其中Φ是拉格朗日乘子矩阵，通过求解公式(15)的拉格朗日函数偏导数为0，则有公式(16)：

通过计算，可以得到带约束优化问题中综合滤波器组的解为公式(17)：

其中