[发明专利]一种基于单位范数紧框架的图像测量矩阵优化方法

说明书

本发明提出一种基于单位范数紧框架的图像测量矩阵优化方法，从感知矩阵本身的边界条件出发，对其进行极分解，得到初始化的α紧框架，运用投影算法将初始化的α紧框架分别投影到结构约束集上和本文新定义的谱约束集上，然后将得到框架进行归一化处理，最后得到一个逼近于边界条件的单位范数紧框架，新得到框架不在受矩阵维度的限制，不仅行向量正交，而且保留了很多感知矩阵的特性，由谱约束条件可知，构造的框架是一个半正定的矩阵集，更加容易解出测量矩阵，大大降低了互相干系数以及对稀疏度的要求，提高了图像的重构精度，也自从一定程度上增加了图像压缩感知系统鲁棒性。

技术领域

本发明属于信号处理领域，具体为一种基于单位范数紧框架的图像测量矩阵优化方法。

背景技术

压缩感知作为近些年来信号处理领域的一个全新理论，已经引起了越来越多的国内外学者研究，该理论表明只要信号本身是稀疏的或者在某个变换域上是稀疏的，就可以用一个和稀疏字典不相干的测量矩阵把抽样得到的高维信号投影到一个低维空间上，将采样和压缩同时进行，投影得到的信号包含了原始信号足够的信息，然后通过一些重构算法，利用这些少量的投影信息就可以高概率地重建出原始信号。压缩感知技术在一定意义上突破了奈奎斯特采样理论，有效地利用了原始信号的稀疏性，与原始信号采样频率和带宽并没有太大关系。

压缩感知是一个线性的测量过程，设X∈R^N为原始信号，长度为N，通过与测量矩阵Φ∈R^M×N相乘，得到长度为M的观测值Y，

Y＝ΦX (1)

如果X不是稀疏信号，将其进行稀疏变换可以得到X＝Ψθ，其中Ψ为稀疏基，θ为稀疏系数，D＝ΦΨ是感知矩阵，CS图像信号的观测过程可以理解为信号X从N维降低到M维的过程，具体过程如图1。当θ满足||θ||₀≤S，称X是S稀疏信号。||θ||₀表示非零元素的个数。恢复稀疏信号X可以通过下式：

其中，表示噪声估计水平。在稀疏基已知的情况下，测量矩阵的性能不仅影响对初始信号进行的压缩，也影响着测量值重构原始信号。在压缩感知的研究中，通常使用的是随机测量矩阵，因为这类矩阵能够以很高的概率满足约束等距性质(RIP),这个性质要求测量矩阵和稀疏基之间满足一定的不相干性。

为了设计出性能更好的测量矩阵，大多数学者引用了框架理论。框架是由向量组成的冗余集合，框架中不要求元素间的线性无关性，它在表示空间中的元素时，更自然，也更广泛，框架是正交基的推广。用框架来表示信号，在重构时，不仅具有鲁棒性，而且还有很好的数值稳定性。具体定义如下：

设为M维Hilbert空间中的一组向量(L＞M)，对于Hilbert空间中的任意向量f_l∈R^M，如果满足下式：

其中0＜α≤β＜∞，则称为一个框架，α和β分别称为下界和上界，框架冗余度定义为L/M。如果框架向量在范数下是单位化的，对均成立，则称为单位范数框架(Unit-Norm Frame,UNF)。对于一个UNF，其不同列向量间内积的绝对值定义为原子相干性，相干性反映一个框架的结构特性。若存在常数0≤η＜1使得

成立，则称此时的为等角框架。

对于一个M×L的UNF，其不同原子相干性的最大值可定义为最大框架相干性，当最大框架相干性取得最小时，此时的框架称为Grassmannian框架(Grassmannian Frame，GF)，GF的主要目的在于最小化所有UNF的最大框架相干性，由上式可得，η值取决于M和L，下界定义为:

当一个UNF取得则称其为最佳Grassmannian框架，如果α＝β，则称此时的框架为α-紧框架，α称为紧致常数，定义为：