[发明专利]一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法

说明书

本发明属于计算流体力学数值求解领域，涉及一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法，基于正交分解模型降阶。本发明将间断伽辽金有限元(DG)方法与正交分解(POD)方法结合，通过构造POD基来对求解变量做近似，以此来降低模型维数，利用POD模型降阶把多维的物理过程进行低维的近似描述，降低模型维数以使得DG算法的计算过程中，在维护可接受的精度的同时使得计算模型的自由度减少以降低计算成本，减少时间和内存消耗。最终本发明既保持了有限元和有限体积的优点又克服了它们的不足。

技术领域

本发明属于计算流体力学数值求解领域，涉及一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法，基于正交分解模型降阶。

背景技术

计算流体力学(Computational fluid dynamics，CFD)是现代流体力学的一个重要学科分支，它是计算机科学、流体力学和计算数学以及计算物理相结合的产物。在用CFD解决实际问题的过程中，首先要将实际问题描述成相应的数学模型，一般情况下是给定初值及边界条件的偏微分方程系统，常解的模型为Euler/Navier-Stokes(N-S)方程。在CFD领域，数值方法已经是其求解计算最重要的方式之一，包括有限元法、有限差分法、有限体积法或间断有限元方法等。

间断有限元方法，也称间断伽辽金(Discontinuous Galerkin，DG)方法，是利用完全间断的分片多项式空间作为近似解和试验函数空间的有限元方法，目前该方法已经成熟应用于计算流体力学中。DG方法不仅具有局部守恒、稳定等特性，并且可以通过提高插值函数的阶数来提高精度，所以容易处理复杂的几何形状以及有悬挂节点的不规则网格，并且在不同单元里具有不同度的逼近多项式。这样间断有限元方法既保持了有限元和有限体积的优点又克服了它们的不足。

尽管DG方法有诸多优点，但其有个主要的缺点，尤其对于稳定问题特别敏感，即DG方法在每个单元需要求解的变量数增加且随着精度的提高变量数是非线性的增长，对系统做数值模拟时会导出一个很大的偏微分方程组，导致计算时的自由度太多，需要大量计算时间和内存容量，使得对真实时间估计不可控制,因此极大的限制了其实际应用。而目前在计算流体力学数值求解领域并没有关于优化DG方法缺陷的技术手段。

发明内容

针对上述存在问题或不足，为解决DG方法在求解Euler方程过程中自由度太多而造成的大量计算时间和内存消耗问题，提高计算效率，本发明提供了一种欧拉方程的间断伽辽金有限元数值求解方法，即基于正交分解(Proper Orthogonal Decomposition，POD)模型降阶的间断伽辽金(DG)有限元数值方法。

具体技术方案包括以下步骤：

A、将目标Euler方程用间断Galerkin有限元算法进行离散，建立一个广义系统；

B、根据步骤A建立的广义系统求解出瞬时解的集合U，作为样本进行选取来构造瞬像矩阵A；

C、对步骤B中得到的瞬像矩阵A进行奇异值分解得到互相关矩阵的特征系统C＝A^TA；

D、求出步骤C中所得特征系统C＝A^TA的特征值和对应的特征向量，根据误差界从中选择POD基向量；

E、用步骤D所得的POD基向量对要求解的状态向量做近似得到将近似的状态向量带入步骤A中的广义系统；

F、对步骤E带入近似的状态向量后的广义系统做Galerkin投影，得到降阶模型并求解。

本发明将DG方法与POD方法结合，通过构造POD基来对求解变量做近似，以此来降低模型维数，利用POD模型降阶把多维的物理过程进行低维的近似描述，降低模型维数以使得DG算法的计算过程中，在维护可接受的精度的同时使得计算模型的自由度减少以降低计算成本，减少时间和内存消耗。最终本发明既保持了有限元和有限体积的优点又克服了它们的不足。

附图说明