[发明专利]一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法

权利要求书

1.一种针对行星滚柱丝杠副接触滚道的主曲率计算方法，其特征在于，包括如下步骤：

(S1)建立丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面的参数方程；

(S2)进行坐标变换；

(S3)在丝杠法截面内，建立丝杠滚道截面轮廓方程；

(S4)在滚柱法截面内，建立滚柱滚道截面轮廓方程；

(S5)在螺母法截面内，建立螺母滚道截面轮廓方程；

(S6)建立通用化的滚道螺旋曲面方程；

(S7)获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面上任意点的单位法向量的通用表达式；

(S8)获得丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的第一类基本量和第二类基本量的具体表达式；

(S9)得到接触滚道的高斯曲率、平均曲率以及主曲率的计算式；

在步骤(S1)中：针对行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱和螺母螺旋滚道曲面特点，对于丝杠、滚柱和螺母的螺旋滚道曲面S上任意一点P，建立螺旋滚道曲面的参数方程，如式(I)所示：

F＝[r_Pcosθ_P，r_Psinθ_P，f(r_P，θ_P)]，(r_P，θ_P)∈G (I)；

其中，r_P和θ_P为曲面S的参数坐标，平面o_ix_iy_i上的初等区域G的任意一点极坐标为(r_P，θ_P)，G经映射F后的像是曲面S，f(r_P，θ_P)为由参数坐标确定的螺旋曲面方程，o_i-x_iy_iz_i为零件笛卡尔坐标系，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母；

在步骤(S2)中，将o_ix_iz_i平面绕x_i轴旋转λ_i度可得o′_i-x′_iy′_iz′_i坐标系，其原点定义在相应零件轴线上；法截面内的零件滚道截面轮廓位于平面o′_ix′_iz′_i内，且在零件zi轴方向，存在如下坐标变换关系，如式(II)：

z′_i＝z_icosλ_i (II)；

其中，λ_i为丝杠、滚柱或螺母的导程角，z_i为丝杠、滚柱或螺母的笛卡尔坐标系o_i-x_iy_iz_i中z方向坐标，z′_i为丝杠、滚柱或螺母在变换后坐标系o′_i-x′_iy′_iz′_i中z′方向坐标，且根据螺旋曲线的性质存在如下关系：

其中，l_i、n_i和p_i分别为零件的导程、头数和螺距；

在步骤(S3)中，

丝杠滚道轮廓下接触面的表达式为：

由于丝杠滚道的上、下接触面关于o′_Sx_S轴对称，则上接触面表达式为：

由式(III-1)和(III-2)，可以建立得到丝杠滚道螺旋曲面方程，如式(III)所示：

其中，r_S为丝杠的名义半径，定义为丝杠螺纹中径的一半；β_n为螺纹牙法向牙侧角；r_PS和θ_PS为丝杠滚道螺旋曲面的参数坐标；p_S为丝杠的螺距；λ_S为丝杠的导程角；l_S为丝杠的导程；ξ为布尔变量；

ξ＝1时式(III)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(III)代表上接触面的曲面方程；

在步骤(S4)中，

滚柱滚道轮廓下接触面的表达式为：

由于滚柱滚道的上、下接触面关于o′_Rx_R轴对称，上接触面的表达式为：

由式(IV-1)和(IV-2)，可建立得到滚柱滚道螺旋曲面方程，如式(IV)所示：

其中，r_PR和θ_PR为滚柱滚道螺旋曲面的参数坐标；β_n为螺纹牙法向牙侧角；r_Re为滚柱滚道截面的轮廓曲率半径，可通过如下关系式计算：r_R为滚柱的名义半径，定义为滚柱螺纹中径的一半；p_R为滚柱的螺距；λ_R为滚柱的导程角；l_R为滚柱的导程；ξ为布尔变量；

ξ＝1时式(IV)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(IV)代表上接触面的曲面方程；

在步骤(S5)中，

螺母滚道轮廓上接触面的表达式为：

由于螺母滚道的上、下接触面关于o′_Nx_N轴对称，则下接触面表达式为：

由式(V-1)和(V-2)，可以建立得到螺母滚道螺旋曲面方程，如式(V)所示：

其中，r_PN和θ_PN为螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；r_N为螺母的名义半径，定义为螺母螺纹中径的一半；β_n为螺纹牙法向牙侧角；p_N为螺母的螺距；λ_N为螺母的导程角；l_N为螺母的导程；ξ为布尔变量；

ξ＝1时式(V)代表下接触面的曲面方程，ξ＝-1时式(V)代表上接触面的曲面方程；

在步骤(S6)中，综合步骤(S3)丝杠滚道截面轮廓方程、步骤(S4)滚柱滚道截面轮廓方程和步骤(S5)螺母滚道截面轮廓方程，三个零件的滚道螺旋曲面方程可统一为式(VI)所示：

其中，i＝S，R，N分别表示丝杠、滚柱和螺母这三个零件，r_Pi和θ_Pi为丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的参数坐标；ξ为布尔变量，为丝杠、滚柱或螺母在法截面内的轮廓函数，记为λ_i为丝杠、滚柱或螺母的导程角；l_i为丝杠、滚柱或螺母的导程，z_Pi为丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P在零件笛卡尔坐标系o_i-x_iy_iz_i中的z方向坐标；

在步骤(S7)中，

对于行星滚柱丝杠副中丝杠、滚柱或螺母的滚道螺旋曲面，三元函数为：

F_i(r_Pi，θ_Pi，Z_Pi)＝ξh(r_pi)/cosλ_i+θ_Pil_i/2π-Z_Pi； (VII)

其中，r_Pi、θ_Pi为丝杠、滚柱或螺母滚道螺旋曲面的参数坐标，Z_Pi为丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P在零件笛卡尔坐标系o_i-x_iy_iz_i中的z方向坐标；

可计算出三元函数对三个方向的偏导数分别为：

其中，为丝杠、滚柱或螺母的轮廓函数对r_Pi的导数；

利用三元函数F(r，θ，z)的梯度计算公式：

其中，i，j，k分别为笛卡尔坐标下三个方向的单位向量；r，θ和z为三元函数的三个方向的变量；

以及单位法向量计算公式：

n_i表示丝杠、滚柱或螺母的单位法向量；

可计算出在对应零件坐标系o_i-x_iy_iz_i中的丝杠、滚柱或螺母滚道曲面上任意一点P的单位法向量的通用表达式如式(VIII)所示：

其中，f表示向量转置；

在步骤(S8)中，

零件螺旋滚道曲面的参数方程可写成向量形式：

对变量r和θ分别求导和二阶导数可得以下分量：

F_rθ＝F_θr＝[-sinθ_Pi，cosθ_Pi，0]；

F_θθ＝[-r_Picosθ_Pi，-r_Pisinθ_Pi，0]；

其中，h″(r_Pi)为轮廓函数h_i对r_Pi的二阶导数，

根据微分几何原理，滚道螺旋曲面的第一类基本量为：

第二类基本量的计算式为：

其中，n为丝杠、滚柱或螺母的滚道曲面单位法向量；

可得滚道曲面的第一类基本量E、F、G和第二类基本量L、M、N的具体表达式：

其中，为轮廓函数对r_Pi的二阶导数；

在步骤(S9)中，

高斯曲率K的计算式为

平均曲率H的计算式为：

根据高斯曲率K和平均曲率H的定义，可得到接触滚道的第一、第二主曲率分别为：

第一主曲率

第二主曲率