[发明专利]一种基于低相干单位范数紧框架的观测矩阵构造方法

说明书

本发明涉及一种基于低相干单位范数紧框架的观测矩阵构造方法，属于信号处理技术领域，包括：S1：初始观测矩阵Φsubgt;0/subgt;初始化为随机部分傅里叶矩阵，并作为初始的α紧框架F；S2：计算框架F对应的Gram矩阵，使用收缩函数将矩阵投影到紧框架的结构约束集上产生新的Gram矩阵；S3：通过加权迭代过程来更新Gram矩阵；S4：降秩新Gram矩阵，计算其平方根，找到最接近于单位范数紧框架的紧框架；S5：求解最优化目标函数解出观测矩阵。本发明降低了观测矩阵和稀疏基之间的互相干性系数，降低了对信号稀疏性的依赖程度，规避了ETF框架构造困难的问题，初始化为部分傅里叶矩阵的初始观测矩阵降低了计算复杂度，减轻了存储和处理设备的压力。

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，涉及一种基于低相干单位范数紧框架的观测矩阵构造方法。

背景技术

随着图像处理技术的进步，以图像信息为主导的多媒体信息成为人们生活的主要信息形式。由奈奎斯特采样定理知，若要完整地恢复出原始信号则要求对原始信号的采样频率要大于等于原信号最高频率的两倍。高频率的采样速率给硬件设备带来了巨大的压力，有的甚高频的信号将无法实现采样。这样的信号处理方式是先采样后压缩，这种大量的数据压缩方式会导致数据精度的降低，从而使得最终重建的信号效果差。另外，高频率的采样会采集到大量的不必要的冗余信息，造成采样资源的浪费。于是，Donoho等人提出了一种新的采样理论，即压缩感知(Compressive Sensing,CS)采样理论。压缩感知理论突破了奈奎斯特采样定理的采样频率限制，实现了对多维信号采样和压缩的同时进行，并大大减少了对信号中冗余信息的采样，从而缓解了信号在存储和传输过程中给硬件设备带来的庞大压力。压缩感知理论包括三个部分：信号的稀疏表示理论、观测矩阵设计理论和信号重构算法理论。

观测矩阵的构造是压缩感知技术关键的一步，具有优良性能的观测矩阵能够在投影观测过程中很好地保留下原始信号的关键信息，从而最终可以通过少量且信息量足够的观测值中恢复出原始信号。压缩感知理论研究表明，为了高精度地从降维后的观测值中恢复出原始信号值，所构造的观测矩阵必须满足有限等距特性(Restricted IsometryProperty，RIP)或者Spark性质。当前，从统计学角度已经证明能够高概率地满足RIP性质的观测矩阵大致可以分为三类：其一是随机观测矩阵，如随机高斯矩阵和随机伯努利矩阵；其次是部分傅里叶矩阵，如部分哈达玛矩阵等；再者是确定性观测矩阵，如托普利兹矩阵和循环测量矩阵。

在以上三类观测矩阵范围内，针对观测矩阵的构造，主要的研究方法有：Elad等人首先提出了相干性的概念，其含义是观测矩阵与稀疏矩阵之间的相关程度，通过降低相干性可以有效减少CS系统的重构误差和精确重构原始信号所需的观测数。通过一种称为阈值法的算法，Elad降低了观测矩阵和稀疏矩阵之间的相干性。然而，该算法的阈值选择完全取决于经验，迭代次数很大，当Gram矩阵收缩时，Gram矩阵的秩会发生变化，算法不稳定。为规避阈值法的不足，出现了等角紧框架(Equiangular Tight Frame,ETF)的方法，通过逐步更新Gram矩阵使Gram矩阵的非对角线元素与ETF接近，从而降低了Gram矩阵的互相干性，但该方法中ETF的构造比较困难。因此，有学者提出通过定义新的结构约束空间来确保Gram矩阵半正定，构造出一种新的等角紧框架，但该框架的尺寸容易受到观测矩阵维度的限制，且算法迭代次数较多。另外，还有通过对矩阵求逆的方法来降低相干性的，然而此类方法的计算复杂度太高，也不是所有矩阵都可逆。也有利用凸优化限制条件直接构造紧框架，虽然构造的框架性能优良，但构造过程比较复杂，且获得的观测矩阵不适用于含噪声信号。

以上观测矩阵构造方法虽然达到了降低观测矩阵和稀疏基之间相干性的目的，但构造的观测矩阵鲁棒性较低，紧框架构造过程难度大，或是计算复杂度过高。

因此，本发明基于框架理论，针对现有方法的不足，提出一种基于低相干单位范数紧框架的观测矩阵构造方法，并利用快速的OMP重构算法进行原始信号恢复。所涉及的基础理论有：