[发明专利]具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器

权利要求书

1.具有未知饱和PI回滞的非线性系统动态面隐逆控制器，其特征在于：所述控制器是基于以下步骤实现的：

1)构造带有饱和PI回滞非线性系统模型；

2)对系统中饱和PI模型进行建模；

3)建立带有饱和PI回滞非线性系统的性能误差转换函数来确保预定的性能指标；

4)将自适应动态面算法与隐逆方法相结合设计出具有饱和回滞的严格反馈非线性系统控制器；

步骤1)带有饱和PI回滞非线性系统模型如公式(1)所示：

其中是/的状态向量，/是系统的未知常数；/表示已知的平滑函数；Δ_i(x,t)是未知的扰动项；/是受控系统的输出；是未知PI回滞的输出，可表示为:

ω(t)＝P(u(t)) (2)

其中u是设计的最终控制信号，通过设计u，使系统的输出跟踪参考信号y_r，此外所有闭环信号是一致有界的；

其中式(1)满足如下条件：

A1：扰动项Δ_i(x,t),i＝1,…,n是未知的Lipschitz连续函数，并且满足

其中是已知的正光滑函数，而b_i是未知的正常数；

A2：对于所有的t≥0，通过设计y_r(0)得到跟踪轨迹y_r，是一个已知的紧集；

A3：系统未知函数g_i,i＝1,...,n的符号是已知的，并且存在常数g_min＞0和g_min≤|g_i|，且，g_i＞0；

步骤2)对系统中饱和PI模型建模如下；

饱和型PI模型是传统PI模型的扩展，具有传统PI模型的特征，并且它可用饱和stop算子表示，另外，假设C_m[0,t_E]是一个分段单调连续的泛函空间，其中t_E是一个实数，是该区间的一个端点；对于任意输入u(t)∈C_m[0,t_E]，令定义为：

其中ρ是已知的连续非递减函数的曲线，输入u和输出w的环路由曲线ρ限制；

对于所有的r≥0，stop算子定义如下：

其中在时间t＝0处应用u(0)，且r表示阈值，用于确定(u，w)平面中的磁滞区域，0＝t₀＜t₁＜…＜t_N＝t_E是[0，t_E]的一个区间，因此函数u在每个子区间(t_i,t_i+1]上都是单调的，然后，stop算子按以下方式定义饱和PI模型：

其中p(r)是一个未知的连续函数，称为密度函数，r表示阈值，它满足p(r)＞0且为方便起见，选择D＝∞作为积分上限，使用定义的密度函数，运算式(6)将C[t₀，∞)映射到C[t₀，∞)，根据式(6)，则式(1)可以写成：

步骤3)具体如下：

首先，如下定义系统的跟踪误差：

e＝x₁-y_r (8)

其中y_r是参考信号；性能误差转换函数定义如下：性能函数R₊→R_--{0}是一个光滑递减的正函数，对于所有t≥0：

其中0＜σ＜1，并且是系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，将式(9)转换为等效函数，引入性能误差转换函数，如下所示：

其中S₁是通过误差转换函数的转换而获得的转换误差，Φ(S₁)是一个光滑且严格单调递增的函数，此外，其逆函数具有以下特性：

并且

接下来，考虑和式(10)，可得，当e(0)＞0时，/当e(0)＜0时，/即式(9)成立，从以上分析可以看出，要达到预定的性能指标，只需证明S₁∈L_∞，从Φ(S₁)的严格单调递增性质，可以得出：

注意，将e(0)＝0考虑在e(0)＞0或e(0)＜0时的情况不会对结果造成影响，同时，σ不能等于零；

步骤4)具体如下：

41)自适应动态面控制器设计：

步骤1：第一个误差面由式(13)可得，再结合式(7)，则S₁的时间导数为：

其中x_2d是设计的虚拟控制信号用来稳定式(14)；Ψ的表达式如

对于Φ和的定义，满足Ψ＞0，然后选择Lyapunov函数为：

且/其中/和/分别是/和φ₁＝1/g₁的估计，/和/是需要设计的正参数，定义如下不等式：

其中ε是正常数，结合式(14)和(17)，V₁导数的表达式如下：

根据不等式(18)，我们可以选择虚拟控制律x_2d为：

其中，通过以下自适应率更新:

其中η1，σ1，κ1为正的设计参数；

令虚拟控制信号x_2d通过以下一阶滤波器，然后得到一个新的状态变量z₂：

其中，τ₂是时间常数；

步骤i，2≤i≤n-1：S_i是第i个误差面，定义为：

S_i＝x_i-z_i (22)

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下公式：

其中x_i+1,d是设计的虚拟控制信号以令式(23)稳定，选择Lyapunov函数为：

中的/和/分别是/和φ_i＝1/g_i的估计；/和/是正常数，结合式(17)与(24)，得到以下不等式：

根据不等式(25)，选择虚拟控制律x_i+1,d为：

其中可以通过以下自适应率更新：

其中η_i,σ_i,κ_i为正的设计参数，令虚拟控制信号x_i+1,d通过以下一阶低通滤波器，然后得到一个新的状态变量z_i+1：

τ_i+1是时间常数；

步骤n：S_n是第n个误差面，定义为

S_n＝x_n-z_n (29)

根据式(7)，S_i的时间导数满足以下式子：

与步骤1和i不同，选择Lyapunov函数为：

其中，并且/和/分别是θ_n,b_n和p_g(r)估计；/和γ_pr是正常数，结合式(17)和(31)能得到如下不等式：/

根据不等式(32)，可以选择临时控制信号为：

其中，和/通过以下自适应率更新：

其中，η_n,κ_n和σ_pr为正的设计参数；

令：

则其中W(t)是未知饱和PI回滞的输出；

42)利用寻优的方法找出最优性能指标:

u^*是通过寻优方法找到的最优值满足：

将回滞算子的实际输入范围设为[u_min,u_max]，假设W(t)在t_i≤t≤t_i+1的范围内是单调的，对于每个t∈[t_i,t_i+1]，作如下定义：

由于能得到如下结论：

现在假设W(t)在区间t_i≤t≤t_i+1中单调增加，对于所有t∈[t_i,t_i+1]，定义新变量u_μ(t)和W_μ(t)，并满足u₀(t)＝u^*(t_i)，其中μ是范围在μ∈[0,u_max-u_min]内的变量；

定义：

如果，W(t)＞W_max(t)，让u^*(t)＝u_max；

如果，W(t)＜W_min(t)，让u^*(t)＝u_min；

如果，W_min(t)≤W(t)≤W_max(t)，u^*(t)的值可以通过以下方法获得；

第一步：让μ从零开始增加；

第二步：计算出u_μ(t)和W_μ(t)的值，如果W_μ(t)＜W(t)，则μ继续增加并且回到第二步，否则，进入第三步；

第三步：让μ停止增加，并将此时的μ记为μ₀，并定义u^*(t)＝u_μ0(t)；

所以，最终的自适应控制率u应选为：

u(t)＝u^*(t) (41)。