[发明专利]多项式维度分解的多自由度转子动力系统统计矩分析方法

权利要求书

1.一种多项式维度分解的多自由度转子动力系统统计矩分析方法，其特征在于包括下述步骤：

步骤一、推导用于含不确定性的动力学系统的PDD方法并验证其准确性；

动力学系统用n×n的质量矩阵M，阻尼矩阵C和刚度矩阵K描述，用F(t)描述作用在该系统上的外部激励力，而y(t)是自由度的矢量；

假定刚度矩阵是不确定的，被表示为：

其中，ξ_K为刚度K的标准差；cov_K为刚度K的方差系数；加上划线的参量为近似参量；加下划线的参量为具有不确定性的参量；

动力学系统用如下公式表示：

假设外激励的简谐为F(t)＝F₀e^iωt，则系统的稳态响应为y(t)＝Ye^iωt，其中且Y是以下公式的解：

(-ω²M+iωC+K)Y＝F₀ (3)

K和Y是任意的刚度和向量，用该系统的矩描述，公式(3)的振幅为|Y₁+iY₂|,其中Y₁和Y₂是Y的实部和虚部；

响应y(x)的一个S变量近似维度分解表示为：

将公式(4)视为输出函数的有限层次扩展，其中输出函数由维数不断增加输入变量表示，其中y₀是定值，y_i(x_i)是单变量分量函数，代表输入变量x_i单独作用对y(x)的贡献；同样的，是一个二元分量函数，是三元分量函数，是一个S元分量函数；当S→N，则响应收敛于一个确定的函数y(x)；

前三个变量分量函数的近似表达式为：

其中α_ij,是相应的系数，y(t)的自由度是任意的，y(t)是公式(2)的一个解；

一个响应y(X)的PDD方法的S变量近似表示为：

当m→∞，公式(8)逼近于y(X)，在均方意义上有S＝N；然后维度缩减方法被用于计算系数y₀和单变量方法中相应的系数由公式(9)-(11)表示：

单变量结果近似于MCS方法的结果；

结合PDD和HB方法对模型进行数值计算；将PDD方法用于含不确定量的模型，所有的物理参数都是不确定的，并且相应的不确定形式与等式(1)相似；公式写为：

响应y(t)和激励F(t)被表示为n阶有限傅里叶级数，当n趋于无穷，响应近似为准确解；

其中A₀，F₀和A_i，B_i(i＝1,...,n)是相应的简谐参量，因此：

将公式(13)-(16)代入公式(12)，得到:

PY＝Q (17)

其中，

矩阵P的阶数为M是自由度，是HB阶数；质量，阻尼，刚度和外部激励矩阵都可能是不确定的，写为等式(1)的形式；振幅-频率响应Y的表达式从公式(17)获得，双变量PDD方法的对应系数由公式(20)-(23)的表示；

等式(24)和(25)中列出PDD方法的一阶矩和二阶矩公式：

用牛顿第二定律建立一个三自由度弹簧模型，将PDD方法得到的幅频响应与MCS获得的参考结果进行比较，计算得到平均值和标准差(SD)，假定刚度k不确定，且k是刚度的均值；

k＝k(1+cov_kξ_k) (26)

公式(1)中的刚度矩阵由公式(27)表示：

扰动随着多项式阶数的增加而出现，但振动值减小，当多项式阶趋于无穷大时，扰动将消失；

步骤二、通过PDD和HB方法计算简单转子系统模型；

动力学方程与式(12)相似，质量，阻尼，刚度，外部激励矩阵写为：

在上述等式中，详细参数表示如下：

m₁,m₂,m₃分别为左右支撑的转子等效质量、磁盘中的等效转子质量；

c₁,c₂,c₃分别为左轴承，盘和右轴承中转子的阻尼系数；

o₁,o₄分别为左右支撑的几何中心；

o₂,o₃分别为磁盘的几何中心和重心；

k为弹性轴的刚度；

ω为旋转速度；

将傅立叶级数为1的情况写为HB-1方法，具体表达式如下：

F(t)＝F₀+F₁ cosωt+F₂ sinωt (29)

因此，

其中，

F₀＝(0 -m₁g 0 -m₂g 0 -m₃g)^T

F₁＝(0 0 m₂eω² 0 0 0)^T

F₂＝(0 0 0 m₂eω² 0 0)^T

将公式(28)、(29)带入到公式(12)中，得到：

KA₀＝F₀ (32)

KA₁+CB₁ω-MA₁ω²＝F₁ (33)

KB₁-CA₁ω-MB₁ω²＝F₂ (34)

忽略静态部分，则得到公式(35)：

其中，

A₁＝(A₁₁ A₁₂ A₁₃ A₁₄ A₁₅ A₁₆)^T,B₁＝(B₁₁ B₁₂ B₁₃ B₁₄ B₁₅ B₁₆)^T

对公式(35)求解，得到转子系统幅值表达式，如公式(36)所示：

步骤三、推广得到含非线性的转子系统的PDD方法；

HB-1方法用于计算解决方案，具体表达如下所示：

x(t)＝A₀+A₁ cosωt+B₁ sinωt (37)

因此，

其中，

将公式(37)-(43)代入到等式(1)，得到如下方程：

具体参数如下：

F₀＝(0 -m₁g 0 -m₂g 0 -m₃g)^T

F₁＝(0 0 m₂eω² 0 0 0)^T

F₂＝(0 0 0 m₂eω² 0 0)^T

通过计算上述参数得到等式(47)、(48)，如下所示：

其中，A₁＝[a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆]^T,B₁＝[b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆]^T

求解上述非线性代数方程，得到幅值表达式如下：

幅度-频率响应的前两个矩通过PDD方法和MCS方法获得，与线性转子模型相比，三次非线性模型对动力学特性的影响更大，通过双变量PDD方法获得的结果与通过MCS方法获得的结果吻合。