[发明专利]一种三次B样条的延拓方法

权利要求书

1.一种三次B样条的延拓方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，计算延拓段的B样条曲线的节点矢量和确定前三个控制顶点的表达式：

步骤1.1，设给定的B样条曲线的表达式为c(t)，延拓目标点为R，延拓段的B样条曲线的参数形式为下式(1)：

式中，为B样条基函数，P_i为控制顶点；

步骤1.2，计算延拓段的B样条曲线的节点矢量，设延拓段B样条曲线的控制顶点个数为n+1，初次计算时，n＝3，最后一个控制顶点为延拓目标点R，延拓段B样条曲线的节点矢量为其中，均匀分布；

步骤1.3，确定延拓段的B样条曲线的控制顶点的表达式：

步骤1.3.1，设有两条参数曲线，第一条参数曲线为c(t),t∈[0,1]，第二条参数曲线为若第二条参数曲线在第一条参数曲线的末端c(1)与第一条参数曲线光滑衔接，则满足如下式(2)的G²连续条件：

其中，自由度α是大于0的实数，自由度β是任意实数；

步骤1.3.2，当c(t)和为两端夹紧的B样条的参数形式时，通过将的一阶导和二阶导代入上式(2)，得出的前三个控制顶点P₀,P₁,P₂分别表达成当c(t)和c-(t-)为两端夹紧的B样条的参数形式时，自由度α,β的表达式为下式(3)、(4)、(5)：

P₀＝c(1)……(3)，

步骤2，确定三次B样条的矩阵表达式，对于在参数区间[t_i,t_i+1)(3≤i≤n)，B样条上的任意一点通过如下式(6)进行计算：

其中，

步骤3，根据三次B样条的矩阵表达推导出延拓段B样条的应变能的显式公式；

对于任意形式的参数曲线应变能的计算如下式(7)：

其中，||·||表示欧几里得范数，当为B样条时，即t₃＝0,t_n+1＝1，根据积分的累加性，推导出下式(8)；

根据B样条的矩阵表达式(6)，推导出下式(9)、(10)：

其中，

将上式(10)展开为多项式形式，得到下式(11)：

其中，是矩阵N⁴(i)第3行第3列的元素，是N⁴(i)第3行第4列的元素，以此类推；

对上式(11)进行积分得到下式(12)：

将展开并进行整理，即得到的应变能的显式计算式(13)：

步骤4，求解延拓段B样条具有最小的应变能时，自由度α,β以及其余控制顶点的解，即求解下式(14)：

步骤5，将求得的自由度的解代入延拓段B样条的前三个控制顶点的表达式(3)、(4)、(5)中，得到三个控制顶点的解；

步骤6，根据获得的节点矢量以及控制顶点，由式(13)计算延拓段B样条的应变能；

步骤7，增加延拓段曲线的控制顶点数，重复计算步骤1-步骤6，直到得到延拓段球B样条的应变能不再下降。

2.根据权利要求1所述的三次B样条的延拓方法，其特征在于，步骤3所述的根据三次B样条的矩阵表达推导出延拓段B样条的应变能的显式中，是由三次B样条的系数矩阵中的元素确定，全部计算式如下所示：